a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+2 \mathrm{y}+3 \mathrm{z}, 2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+4 \mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(3 x+y, x-y+3 z, 2 x+z)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=(3 \mathrm{r}, 3 \theta), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?
Passo 1
O enunciado pede:
(a) Definir o que é uma transformação linear e o que é o núcleo (kernel) de uma transformação linear.
(b) Verificar se \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} dada por \mathrm{T}(x,y,z)=(x+2y+3z,\;2x-y+4z) é linear. (Observação: o enunciado escreveu \mathbb{R}^2 mas deu três coordenadas; vou considerar \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2.)
(c) Verificar se \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} dada por \mathrm{T}(x,y,z)=(3x+y,\;x-y+3z,\;2x+z) é linear.
(d) Verificar se \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada por \mathrm{T}(r,\theta)=(3r,3\theta), onde (r,\theta) são as coordenadas polares de (x,y) e \mathrm{T}(0)=0, é linear.
(e) Para uma das transformações lineares acima, determinar núcleo, imagem, nulidade e posto (ordem) e dizer se é bijetora.
Informações relevantes dadas:
As expressões explícitas de \mathrm{T} em (b), (c) e (d).
Em (d) foi indicado uso de coordenadas polares: (r,\theta) são as coordenadas polares do vetor (x,y).
A resolução começa agora.
Passo 2
Definições e conceitos básicos — passo a passo e com jeitinho didático:
Transformação linear: seja V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T:V\to W é chamada de transformação linear se, para todo u,v\in V e todo escalar \alpha, valem as duas propriedades:T(u+v)=T(u)+T(v)
T(\alpha u)=\alpha\,T(u).
Ou seja: preserva soma e multiplicação por escalar. Essas duas regras juntas implicam também T(0)=0 e T(-u)=-T(u).
Exemplo simples: multiplicar coordenadas por uma matriz A sempre dá transformação linear, pois A(u+v)=Au+Av e A(\alpha u)=\alpha Au.
Núcleo (kernel): para T:V\to W, o núcleo é o conjunto de vetores de V que vão para o vetor zero em W:\ker(T)=\{v\in V \mid T(v)=0\}.O núcleo é um subespaço de V. A nulidade (dimensão do núcleo) mede quantas direções “perdem informação” sob T. Pelo teorema do posto-nulidade, para T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,\dim(\ker T)+\operatorname{rank}(T)=n.Onde \operatorname{rank}(T) (posto ou ordem) é a dimensão da imagem de T.
Vou usar essas definições para testar cada transformação.
Observação: cada componente é uma combinação linear das coordenadas x,y,z sem termos constantes. Isso sugere que \mathrm{T} é produto por uma matriz.
Escrevendo em forma matricial:\mathrm{T}(x,y,z)=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt] 2 & -1 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\\[2pt] z\end{pmatrix}.Chame essa matriz de A.
Porque é produto por matriz, preserva soma e multiplicação por escalar: para quaisquer u,v\in\mathbb{R}^3 e \alpha\in\mathbb{R},T(u+v)=A(u+v)=Au+Av=T(u)+T(v),
De novo, cada componente é uma combinação linear das coordenadas x,y,z sem termo constante. Podemos escrever:\mathrm{T}(x,y,z)=\begin{pmatrix}3 & 1 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 3\\[4pt] 2 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\\[2pt] z\end{pmatrix}.Chame essa matriz de A.
Como é multiplicação por matriz, as propriedades de linearidade (aditividade e homogeneidade) são satisfeitas (mesmo raciocínio do passo anterior).
Conclusão: a transformação em (c) é linear.]
Passo 5
Verificação de linearidade para o item (d). Vou mostrar por contraexemplo que não é linear.
Transformação dada: \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}, obtida assim — para um vetor (x,y) calcule suas coordenadas polares (r,\theta), e então
\mathrm{T}(x,y)=\text{vetor com coordenadas polares }(3r,3\theta),
e foi explicitado que \mathrm{T}(0)=0.
Observações importantes (didáticas):
A linearidade exige que a soma de vetores no domínio corresponda à soma das imagens. Mas a passagem de soma em coordenadas cartesianas para coordenadas polares não é simples: o r e \theta de u+v não são, em geral, soma dos r e \theta de u e v.
Vamos um contraexemplo concreto (bem didático): escolha u=(1,0) e v=(0,1) em coordenadas cartesianas.
Cálculos detalhados:
Para u=(1,0): polar (r,\theta)=(1,0). Então \mathrm{T}(u) tem coordenadas polares (3\cdot1,3\cdot0)=(3,0). Em cartesianas isso dá\mathrm{T}(u)=(3\cos 0,\;3\sin 0)=(3,0).
Para v=(0,1): polar (r,\theta)=(1,\pi/2). Então \mathrm{T}(v) tem polares (3,3\pi/2). Em cartesianas:\mathrm{T}(v)=(3\cos(3\pi/2),\;3\sin(3\pi/2))=(0,-3).
Soma das imagens:\mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v)=(3,0)+(0,-3)=(3,-3).
Agora u+v=(1,1). Suas coordenadas polares são r=\sqrt{2} e \theta=\pi/4. Aplica-se \mathrm{T}:\mathrm{T}(u+v)\text{ em polares }=(3\sqrt{2},3\pi/4).Convertendo para cartesianas:\mathrm{T}(u+v)=\bigl(3\sqrt{2}\cos(3\pi/4),\;3\sqrt{2}\sin(3\pi/4)\bigr).Sabendo \cos(3\pi/4)=-\tfrac{\sqrt{2}}{2} e \sin(3\pi/4)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}, obtemos\mathrm{T}(u+v)=\bigl(3\sqrt{2}\cdot(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}),\;3\sqrt{2}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)=(-3,3).
Comparando:\mathrm{T}(u+v)=(-3,3)\quad\text{mas}\quad \mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v)=(3,-3).São diferentes, logo a propriedade T(u+v)=T(u)+T(v) falha.
Conclusão: a transformação em (d) NÃO é linear. (Mesmo que \mathrm{T}(0)=0, isso não garante linearidade.)
Passo 6
Escolha de qual transformação analisar em (e) e justificativa do método escolhido.
Vou escolher a transformação do item (c) para calcular núcleo, imagem, nulidade e posto. Motivo: é uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dada por uma matriz quadrada 3\times3; isso permite usar determinante e propriedades de matrizes para concluir rapidamente sobre núcleo e imagem, e é precisamente o caso típico pedido em provas. Além disso, se a matriz for invertível, a conclusão é imediata (núcleo trivial e imagem igual a \mathbb{R}^3) — é uma abordagem direta para aplicar durante a prova sem gastos maiores.
Passo 7
Análise detalhada (passo a passo) do item (c): encontrar núcleo, imagem, nulidade e posto.
Matriz associada à transformação (já escrita):A=\begin{pmatrix}3 & 1 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 3\\[4pt] 2 & 0 & 1\end{pmatrix},de modo que \mathrm{T}(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.
Para saber núcleo e imagem podemos verificar se A é invertível. Calculemos o determinante de A (fiz passo a passo para que você aprenda a calcular em prova):
Usamos desenvolvimento pela primeira linha:\det(A)=3\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).Agora os menores:\det\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=(-1)\cdot1-3\cdot0=-1,
Consequências (teoria aplicada de forma concreta):
Uma matriz invertível corresponde a uma transformação linear invertível, isto é, bijetora.
Se A é invertível então a única solução de A\vec{v}=0 é \vec{v}=0. Logo\ker(\mathrm{T})=\{(0,0,0)\}.
A imagem de \mathrm{T} é todo \mathbb{R}^3 porque transformação linear invertível tem imagem de dimensão máxima:\operatorname{Im}(\mathrm{T})=\mathbb{R}^3.
Nulidade (dimensão do kernel) é\dim(\ker\mathrm{T})=0.
Posto (ordem) é a dimensão da imagem:\operatorname{rank}(\mathrm{T})=\dim(\operatorname{Im}\mathrm{T})=3.
Bijetividade: como A é invertível (determinante não nulo) e dominio e contradomínio têm mesma dimensão, \mathrm{T} é bijetora (injetora e sobrejetora).]
Resposta
(a) Transformação linear: T:V\to W é linear se, para todos u,v\in V e todo escalar \alpha, vale T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha T(u). Núcleo: \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.
(b) A transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}, \mathrm{T}(x,y,z)=(x+2y+3z,\;2x-y+4z) é linear.
(c) A transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}, \mathrm{T}(x,y,z)=(3x+y,\;x-y+3z,\;2x+z) é linear.
(d) A transformação definida por coordenadas polares \mathrm{T}(r,\theta)=(3r,3\theta) (com (r,\theta) polares de (x,y)) NÃO é linear (contraexemplo: u=(1,0),v=(0,1) dá \mathrm{T}(u+v)\neq \mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v)).
(e) Para a transformação do item (c):
ker(\mathrm{T})=\{(0,0,0)\}
Im(\mathrm{T})=\mathbb{R}^3
nulidade =0
posto (ordem) =3
É bijetora? Sim.