a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+\mathrm{y}-3 \mathrm{z}, 3 \mathrm{x}-\mathrm{y}+2 \mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(3 x+y, x+2 y+z, 2 x+4 z)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=\left(\sqrt{r},-\frac{\theta}{2}\right), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?

Passo 1

O enunciado pede o seguinte:
(a) Definir o que é uma transformação linear e o que é o núcleo (kernel) de uma transformação linear.
(b) Determinar se a transformação
T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2},\qquad T(x,y,z)=(x+y-3z,\;3x-y+2z)
é linear.
(c) Determinar se a transformação
T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\qquad T(x,y,z)=(3x+y,\;x+2y+z,\;2x+4z)
é linear.
(d) Determinar se a transformação
T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2},\qquad T(r,\theta)=\big(\sqrt{r},\;-\tfrac{\theta}{2}\big)
onde (r,\theta) são as coordenadas polares do ponto (x,y) (e T(0)=0), é linear.
(e) Para uma das transformações lineares acima, determinar núcleo, imagem, nulidade e ordem (posto). Dizer se essa transformação é bijetora.
Observação sobre os dados fornecidos: no item (b) o enunciado escreve domínio \mathbb{R}^2 mas a fórmula usa três coordenadas (x,y,z). Vou explicitar e resolver essa inconsistência no próximo passo.

Passo 2

Definições e ferramentas que vamos usar (aula rápida e prática).
Definição de transformação linear:
\text{Uma aplicação }T:V\to W\text{ entre espaços vetoriais sobre }\mathbb{R}\text{ é linear se, para quaisquer }u,v\in V\text{ e qualquer escalar }\alpha\in\mathbb{R},çãçé
valem as duas propriedades
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(\alpha u)=\alpha\,T(u).
Explicando com calma: isso significa que T preserva soma de vetores e multiplicação por escalar. Outra forma equivalente — muito prática em provas — é verificar que para vetores escritos por coordenadas a aplicação é dada por combinações lineares das coordenadas (ou seja, representável por multiplicação por uma matriz).
Definição de núcleo (kernel):
\ker(T)=\{v\in V \mid T(v)=0_W\},
ou seja, todos os vetores que vão para o vetor nulo no espaço de chegada. O núcleo mede a “perda de informação” da transformação. Duas propriedades úteis:
  • Se \ker(T)=\{0\} então T é injetora.
  • Para transformações entre espaços de dimensão finita, vale a relação de posto-nulidade (teorema do posto):
\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=\dim(V).
Aqui \dim(\ker(T)) é a nulidade e \dim(\operatorname{Im}(T)) é o posto (ordem).
Como verificar linearidade na prática:
  • Método direto: pegar vetores genéricos e mostrar as duas propriedades (adição e homogeneidade).
  • Método da matriz: se cada componente da imagem é uma combinação linear das coordenadas (sem termos constantes nem funções não-lineares), então T é linear; podemos então escrever T(v)=A v para alguma matriz A.
Vou usar essas ferramentas passo a passo nos itens (b), (c), (d) e (e).

Passo 3

Item (b): observação sobre domínio e decisão prática.
O enunciado originalmente diz T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} mas dá a fórmula T(x,y,z)=\dots — essa fórmula usa três coordenadas. Isso é uma inconsistência do enunciado. Para que a fórmula faça sentido vou assumir que a intenção era
T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2},\qquad T(x,y,z)=(x+y-3z,\;3x-y+2z).
Seguirei essa interpretação (é a correção natural) e mostro por quê essa T é (ou não é) linear.

Passo 4

Verificação de linearidade do item (b) (assumindo domínio \mathbb{R}^3).
Escrevemos vetores genéricos u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2) em \mathbb{R}^3.
Calculemos T(u+v). Primeiro u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2). Aplicando T,
T(u+v)=\big((x_1+x_2)+(y_1+y_2)-3(z_1+z_2),\;3(x_1+x_2)-(y_1+y_2)+2(z_1+z_2)\big).
Agrupando termos:
T(u+v)=\big((x_1+y_1-3z_1)+(x_2+y_2-3z_2),\;(3x_1-y_1+2z_1)+(3x_2-y_2+2z_2)\big).
Isso é exatamente
T(u+v)=T(u)+T(v).
Agora verifique homogeneidade: para escalar \alpha\in\mathbb{R},
T(\alpha u)=T(\alpha x_1,\alpha y_1,\alpha z_1)=\big(\alpha x_1+\alpha y_1-3\alpha z_1,\;3\alpha x_1-\alpha y_1+2\alpha z_1\big),
que é
T(\alpha u)=\alpha\,(x_1+y_1-3z_1,\;3x_1-y_1+2z_1)=\alpha\,T(u).
Portanto ambas as propriedades são satisfeitas e T é linear.
Também podemos ver T como multiplicação por matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & -3\\[4pt] 3 & -1 & 2\end{pmatrix},
pois T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}. Qualquer aplicação dada por uma matriz é linear.]

Passo 5

Verificação de linearidade do item (c).
A transformação é
T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\qquad T(x,y,z)=(3x+y,\;x+2y+z,\;2x+4z).
Cada componente é uma combinação linear das coordenadas x,y,z (não há termos constantes, nem multiplicações entre coordenadas, nem funções não-lineares). Logo T é linear. Podemos escrever a matriz associada
A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 1\\[4pt] 2 & 0 & 4 \end{pmatrix},
e então T(v)=A v para v=(x,y,z)^T. Por ser matriz linear, T satisfaz aditividade e homogeneidade automaticamente.]

Passo 6

Verificação de linearidade do item (d).
A transformação é dada usando coordenadas polares: para um ponto (x,y) considere as coordenadas polares (r,\theta) com r=\sqrt{x^2+y^2} e \theta=\operatorname{atan2}(y,x). A aplicação é
T(r,\theta)=\big(\sqrt{r},\;-\tfrac{\theta}{2}\big),
com T(0)=0.
Para testar linearidade é suficiente achar um contraexemplo à homogeneidade ou à aditividade. Vou usar homogeneidade: pegue o vetor (x,y)=(1,0). As coordenadas polares são r=1, \theta=0. Assim
T(1,0)=\big(\sqrt{1},\;0\big)=(1,0).
Multiplique esse vetor por 2 no domínio: 2\cdot(1,0)=(2,0) cuja coordenada radial é r=2 e \theta=0. Então
T(2,0)=\big(\sqrt{2},\;0\big).
Se T fosse linear deveríamos ter T(2\cdot(1,0))=2\cdot T(1,0)=(2,0). Mas de fato
T(2,0)=(\sqrt{2},0)\neq(2,0).
Logo a propriedade T(\alpha v)=\alpha T(v) falha (a menos de casos muito específicos de \alpha), portanto T não é linear.
Intuição didática: o raio r transforma-se por \sqrt{r}, o que não é linear em r nem em (x,y); além disso a transformação usa \theta e opera com -\theta/2, o que quebra aditividade entre vetores com ângulos diferentes. Então não é linear.

Passo 7

Escolha da transformação para o item (e) e justificativa do método.
Vou escolher a transformação do item (c) porque é uma aplicação de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^3 representada por uma matriz quadrada, o que facilita calcular núcleo, imagem e posto de forma direta usando determinante e resolução de sistemas lineares. Se preferires eu poderia ter escolhido (b), mas (b) tem imagem em \mathbb{R}^2 e daria uma análise semelhante; a versão quadrada é mais informativa para testar bijetividade.

Passo 8

Determinar núcleo \ker(T) para a transformação (c): procedimento e cálculo.
Temos T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} com
A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 1\\[4pt] 2 & 0 & 4 \end{pmatrix}.
O núcleo é o conjunto de soluções do sistema homogêneo A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0.
Uma maneira rápida: calcular o determinante de A. Se \det(A)\neq 0, então a única solução é o vetor nulo e \ker(T)=\{0\}.
Calculemos \det(A) (expandindo pela primeira linha):
\det(A)=3\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Agora os determinantes 2\times2:
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}=2\cdot4-1\cdot0=8,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix}=1\cdot4-1\cdot2=4-2=2.
Logo
\det(A)=3\cdot 8 - 1\cdot 2 =24-2=22.
Como \det(A)=22\neq 0, a matriz é inversível e o sistema homogêneo só tem a solução trivial. Portanto
\ker(T)=\{(0,0,0)\}.]

Passo 9

Determinar imagem, nulidade, posto (ordem) e bijetividade para a transformação (c).
Como \det(A)\neq 0, a matriz A é invertível. Para transformações lineares entre espaços vetoriais de mesma dimensão finita isso implica:
  • A transformação é injetora (porque \ker(T)=\{0\}).
  • A transformação é sobrejetora (porque uma matriz inversível mapeia \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^3 de forma onto).
    Portanto a imagem é todo \mathbb{R}^3:
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3.
A nulidade (dimensão do núcleo) é
\dim(\ker(T))=0.
O posto (ordem), que é \dim(\operatorname{Im}(T)), vale
\dim(\operatorname{Im}(T))=3.
E portanto T é bijetora (injetora e sobrejetora), ou equivalentemente, inversível.

Resposta

(a) Definição: Uma aplicação T:V\to W é linear se, para quaisquer u,v\in V e qualquer \alpha\in\mathbb{R}, valerem T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha T(u). Núcleo: \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0_W\}.
(b) Sim, T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 dado por T(x,y,z)=(x+y-3z,\;3x-y+2z) é linear (pode ser escrito por matriz \begin{pmatrix}1&1&-3\\[4pt]3&-1&2\end{pmatrix}).
(c) Sim, T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dado por T(x,y,z)=(3x+y,\;x+2y+z,\;2x+4z) é linear (matriz \begin{pmatrix}3&1&0\\[4pt]1&2&1\\[4pt]2&0&4\end{pmatrix}).
(d) Não, T(r,\theta)=(\sqrt{r},-\tfrac{\theta}{2}) não é linear (falha homogeneidade; exemplo: T(2\cdot(1,0))=(\sqrt{2},0)\neq 2\,T(1,0)).
(e) Para a transformação do item (c): \ker(T)=\{(0,0,0)\}; \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3; nulidade =0; ordem (posto) =3. Sim, essa transformação é bijetora.]

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