a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}, 3 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}-2 \mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(x+2 y-z, 2 x+y+3 z, 4 x-y)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=\left(\mathrm{r}^{3}, \frac{\theta}{3}\right), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?

Passo 1

O enunciado pede várias coisas. Vou listar exatamente o que foi pedido e os dados fornecidos, para ficar claro o objetivo de cada item.
  • (a) Definir: (i) transformação linear e (ii) núcleo de uma transformação linear.
  • (b) Verificar se a transformação dada é linear. Enunciado: \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\; \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(\mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z},\;3\mathrm{x}+2\mathrm{y}-2\mathrm{z}). Observação: o enunciado escreveu \mathbb{R}^2 mas forneceu vetores com três coordenadas; vou interpretar, como é natural, que o domínio é \mathbb{R}^{3} e o contradomínio \mathbb{R}^{2}.
  • (c) Verificar se a transformação abaixo é linear. Enunciado: \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},\; \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(x+2 y-z,\;2 x+y+3 z,\;4 x-y).
  • (d) Verificar se a transformação abaixo é linear. Enunciado: \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\; \mathrm{T}(r,\theta)=\left(r^{3},\frac{\theta}{3}\right), onde (r,\theta) são coordenadas polares de (x,y); e foi dada a condição T(0)=0.
  • (e) Escolher uma das transformações lineares acima e, para ela, determinar núcleo, imagem, nulidade (dimensão do núcleo) e ordem (entendo aqui por “ordem” a dimensão da imagem, i.e., posto ou rank). Dizer se essa transformação é bijetora.
Agora que sabemos o que cada item pede e que interpretei (b) como \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2, sigo para as definições e métodos.

Passo 2

Definições e critérios úteis (aula curta e prática).
  • Definição de transformação linear: Uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se preserva soma e multiplicação por escalares. Formalmente, T é linear se, para todos os vetores u,v do domínio e todo escalar \alpha\in\mathbb{R},
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(\alpha u)=\alpha T(u).
Essas duas propriedades juntas garantem que T respeita toda a estrutura de espaço vetorial. Outra forma equivalente: T é linear se e somente se
T\Big(\sum_{i} \alpha_i v_i\Big)=\sum_{i}\alpha_i T(v_i)
para quaisquer escalares \alpha_i e vetores v_i.
  • O núcleo (ou núcleo de T, também chamado de nulspace) de uma transformação linear T: V\to W é o conjunto de vetores do domínio que vão para o vetor zero do contradomínio. Em símbolos,
\ker(T)=\{v\in V \mid T(v)=0\}.
O núcleo é sempre um subespaço do domínio. A nulidade é a dimensão do núcleo, \dim(\ker(T)).
  • Imagem (ou espaço gerado pelas colunas) e posto (rank): A imagem de T é o conjunto de saídas possíveis,
\operatorname{Im}(T)=\{T(v)\in W \mid v\in V\},
que é um subespaço de W. O posto (ou ordem, como pede o enunciado) é \dim(\operatorname{Im}(T)).
  • Teorema fundamental da álgebra linear (Teorema dimensão): Para T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m,
\dim(\ker T) + \dim(\operatorname{Im} T) = n.
Isto é útil para checar cálculos.
  • Como testar se uma transformação dada por fórmulas é linear na prática:
    1. Veja se cada componente da imagem é combinação linear (com coeficientes constantes) das coordenadas de entrada, sem termos independentes (constantes). Se sim, geralmente é linear.
    2. Procedimento rigoroso: verificar as duas propriedades T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha T(u), que normalmente se faz para vetores genéricos ou mostrando que existe uma matriz A tal que T(v)=A v. Se existe tal matriz, T é linear.
Exemplo rápido: Se T(x,y)=(2x-3y,\,5x+y) então T é linear porque cada componente é uma combinação linear das entradas, e podemos escrever T(v)=A v com
A=\begin{pmatrix}2 & -3\\[2pt] 5 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Testo a linearidade do item (b). Reescrevendo com a interpretação correta do domínio:
  • Dado \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{2} definida por
\mathrm{T}(x,y,z)=(x-y+z,\;3x+2y-2z).
Verificação prática:
  • Observe que cada componente é uma combinação linear das coordenadas x,y,z com coeficientes constantes e sem termo constante independente. Logo existe uma matriz A tal que T(v)=A v, com
A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 1\\[4pt] 3 & 2 & -2\end{pmatrix}.
  • Isso é suficiente para garantir linearidade. Para ser completamente explícito, para vetores u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2) e escalar \alpha,
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2)
=(x_1+x_2 - (y_1+y_2) + (z_1+z_2),\;3(x_1+x_2)+2(y_1+y_2)-2(z_1+z_2))
=(x_1-y_1+z_1,\;3x_1+2y_1-2z_1)+(x_2-y_2+z_2,\;3x_2+2y_2-2z_2)
= T(u)+T(v),
e T(\alpha u)=\alpha T(u) por distributividade dos coeficientes. Portanto, (b) é uma transformação linear.]

Passo 4

Testo a linearidade do item (c). Dado
\mathrm{T}: \mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3},\qquad \mathrm{T}(x,y,z)=(x+2y-z,\;2x+y+3z,\;4x-y).
  • Cada componente é combinação linear das entradas x,y,z com coeficientes constantes e sem termo constante. Portanto existe uma matriz A tal que T(v)=A v, onde
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] 2 & 1 & 3\\[4pt] 4 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
  • Assim T é linear (mesma justificativa da soma e homogeneidade que usei em (b)). Conclusão: (c) é transformação linear.]

Passo 5

Testo a linearidade do item (d), que é o caso mais sutil porque os argumentos usam coordenadas polares.
  • Lembrete: num problema de linearidade em \mathbb{R}^2 normalmente usamos as operações usuais de soma e multiplicação por escalar em coordenadas cartesianas. A transformação dada é, em coordenadas polares, \;T(r,\theta)=(r^{3},\theta/3) e foi especificado T(0)=0.
  • Contraexemplo simples para a propriedade de homogeneidade (que já é suficiente para concluir que não é linear). Considere o vetor em coordenadas polares (r,\theta)=(1,0), que em cartesianas é o vetor (1,0).
    • T(1,0)=(1^{3},0/3)=(1,0).
    • Agora 2 vezes o vetor original tem coordenadas polares (r,\theta)=(2,0) (pois dobrar a magnitude numa mesma direção dobra r e mantém \theta).
    • Então T(2,0)=(2^{3},0/3)=(8,0).
    • Se T fosse linear, deveríamos ter T(2\cdot(1,0))=2\,T(1,0)=(2,0). Mas T(2\cdot(1,0))=(8,0)\neq(2,0).
  • Portanto (d) não é linear.
Observação intuitiva: a operação r\mapsto r^3 não é linear (não preserva soma nem multiplicação por escalar de forma compatível), e o uso de \theta também traz problemas porque ângulos não se somam da mesma forma sob soma de vetores (soma de vetores não corresponde a soma direta das coordenadas polares). Mesmo com T(0)=0 dado, isso não salva a linearidade.

Passo 6

Resumo parcial dos resultados de linearidade (para fixar antes de calcular núcleos e imagens):
  • (b) é linear (interpretação \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2).
  • (c) é linear ( \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3).
  • (d) não é linear.
Agora respondo (e): escolho a transformação (c) para calcular núcleo, imagem, nulidade e ordem (posto), porque (c) é quadrada ( 3\times3) e nos permite verificar bijetividade claramente.

Passo 7

Computando núcleo, imagem, nulidade e posto para a transformação escolhida (c).
  • Reescrevo a matriz A\) associada a \(T\) (item \text{(c)}): \[A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] 2 & 1 & 3\\[4pt] 4 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
  • Núcleo: resolver A\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\\[2pt] z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}. Isto é o sistema
\begin{cases} x + 2y - z = 0,\\[4pt] 2x + y + 3z = 0,\\[4pt] 4x - y = 0. \end{cases}
  • Resolução passo a passo (substituições simples):
    • Da terceira equação: 4x - y = 0\] dá \(y = 4x.
    • Substituindo em primeira equação: x + 2(4x) - z = 0 leva a x + 8x - z = 0, isto é 9x - z = 0, logo z = 9x.
    • Substituindo y=4x e z=9x na segunda equação: 2x + (4x) + 3(9x) = 2x+4x+27x = 33x = 0. Assim x=0.
    • Com x=0 vem y=4x=0 e z=9x=0.
  • Conclusão sobre o núcleo:
\ker(T)=\{(0,0,0)\}.
Portanto a nulidade é \dim(\ker T)=0.]

Passo 8

Imagem (posto) e bijetividade para a mesma transformação (c).
  • Como \ker(T)=\{0\} e o domínio é \mathbb{R}^3, pelo teorema dimensão temos
\dim(\operatorname{Im} T) = 3 - \dim(\ker T) = 3 - 0 = 3.
Logo o posto (ordem) é 3.
  • Alternativamente, podemos verificar o determinante de A para ver se é invertível. Calculando o determinante:
\det(A)= \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] 2 & 1 & 3\\[4pt] 4 & -1 & 0 \end{vmatrix} =33\quad(\text{cálculo direto por expansão}),áã
que é diferente de zero. Assim A é invertível, as colunas são linearmente independentes e a imagem é todo \mathbb{R}^3:
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3.
  • Bijetividade: Como T é linear, invertível (determinante não nulo), tem núcleo trivial e imagem igual a \mathbb{R}^3. Portanto T é bijetora (injetora e sobrejetora).]

Resposta

(a) Transformação linear: T:V\to W é linear se, para todos u,v\in V e todo \alpha\in\mathbb{R},
T(u+v)=T(u)+T(v)\quad\text{e}\quad T(\alpha u)=\alpha T(u).
Núcleo: \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.
(b) É linear (interpretando domínio como \mathbb{R}^3); matriz associada \displaystyle\begin{pmatrix}1 & -1 & 1\\[4pt]3 & 2 & -2\end{pmatrix}.
(c) É linear; matriz associada \displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\[4pt]2 & 1 & 3\\[4pt]4 & -1 & 0\end{pmatrix}.
(d) Não é linear (ex.: T(2\cdot(1,0))=(8,0)\neq 2T(1,0)=(2,0)).
(e) Escolhendo a transformação (c):
\ker(T)=\{(0,0,0)\}
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{3}
nulidade =\dim(\ker T)=0
ordem (posto) =\dim(\operatorname{Im}T)=3
A transformação é bijetora.]

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