a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+3 \mathrm{z}, \mathrm{x}+4 \mathrm{y}-\mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(x+y, 3 x-2 y+z, 4 x+2 z)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=\left(\mathrm{r}, \frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{3}\right), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?

Passo 1

O enunciado pede várias coisas. Vou listar claramente o que é pedido e as informações dadas:
a) Definir transformação linear e núcleo de transformação linear .
b) Determinar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada por \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(2\mathrm{x}-\mathrm{y}+3\mathrm{z},\\ \mathrm{x}+4\mathrm{y}-\mathrm{z}) é linear.
(Observação: o enunciado tem uma inconsistência escrevendo domínio \mathbb{R}^2 mas dando tripla (x,y,z). Vou considerar que a intenção foi \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} com componente (x,y,z).)
c) Determinar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} dada por \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(x+y,\\\ 3x-2y+z,\\\ 4x+2z) é linear.
d) Determinar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada em coordenadas polares por \mathrm{T}(r,\theta)=\bigl(r,\\ \tfrac{\theta}{2}+\tfrac{\pi}{3}\bigr) (e T(0)=0) é linear. Aqui (r,\theta) são as coordenadas polares do vetor (x,y).
e) Para uma das transformações lineares acima (escolherei uma que de fato seja linear), determinar núcleo, imagem, nulidade e ordem (posto). Dizer também se essa transformação é bijetora.

Passo 2

Definições e ferramentas que vou usar — explicadas devagarinho.
  • Definição de transformação linear: Uma aplicação T entre espaços vetoriais (por exemplo T: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m) é linear se, para quaisquer vetores u,v e qualquer escalar \alpha, valem as duas propriedades:
T(u+v)=T(u)+T(v)
T(\alpha u)=\alpha\,T(u).
Essas duas condições juntas significam que T preserva combinações lineares. Na prática, para verificar linearidade, normalmente checamos se as componentes de T são combinações lineares homogêneas das coordenadas (ou seja, não aparecem termos constantes independentes das coordenadas).
  • Núcleo (kernel) de T: É o conjunto de vetores que vão para o vetor zero:
\ker(T)=\{v\in\mathbb{R}^n \mid T(v)=0\}.
O núcleo é um subespaço; se T é representada por uma matriz A, então \ker(T) é o espaço solução de A v=0.
  • Imagem (ou alcance) de T: É o conjunto dos vetores que aparecem como T(v):
\operatorname{Im}(T)=\{T(v)\in\mathbb{R}^m \mid v\in\mathbb{R}^n\}.
Se A é a matriz de T, a imagem é o espaço gerado pelas colunas de A. A dimensão da imagem chama-se posto (rank).
  • Teorema dimensão (Rank-Nullity): Para T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,
\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=n.
Aqui \dim(\ker(T)) é a nulidade e \dim(\operatorname{Im}(T)) é o posto (ordem).
  • Observação prática: se T for dada por expressões lineares (somatórios de termos a_{ij}x_j sem termos constantes), então T é linear. Se aparecer um termo constante (p.ex. +\pi/3 em alguma componente em coordenadas apropriadas) ou transformação não linear de coordenadas (p.ex. \theta\mapsto \theta/2+\pi/3 em polares) costuma quebrar a linearidade.

Passo 3

Verificação de linearidade do item (b) — assumindo \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} com \mathrm{T}(x,y,z)=(2x-y+3z,\\ x+4y-z).
Primeiro escrevo T como multiplicação por matriz na base canônica. A matriz associada A é obtida pelas coeficientes das componentes:
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3\\[4pt] 1 & 4 & -1 \end{pmatrix}.
Cada componente é uma combinação linear homogênea de x,y,z (não há termos constantes). Para verificar a linearidade diretamente, tomo u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2). Então
T(u+v)=T(x_1+x_2,\\ y_1+y_2,\\ z_1+z_2)
=\bigl(2(x_1+x_2)-(y_1+y_2)+3(z_1+z_2),\\ (x_1+x_2)+4(y_1+y_2)-(z_1+z_2)\bigr)
=\bigl((2x_1-y_1+3z_1)+(2x_2-y_2+3z_2),\\ (x_1+4y_1-z_1)+(x_2+4y_2-z_2)\bigr)
= T(u)+T(v).
E para escalar \alpha,
T(\alpha u)=T(\alpha x_1,\alpha y_1,\alpha z_1)=\alpha T(u).
Logo T é linear. (Raciocínio simples: expressões são lineares em x,y,z sem constantes.)]

Passo 4

Verificação de linearidade do item (c): \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} com \mathrm{T}(x,y,z)=(x+y,\\\ 3x-2y+z,\\\ 4x+2z).
Escrevo a matriz A associada às componentes (cada linha os coeficientes de x,y,z):
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 3 & -2 & 1\\[4pt] 4 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Novamente, todas as componentes são combinações lineares homogêneas das coordenadas (sem termos constantes), então T é linear.
Agora, para saber propriedades mais adiante (núcleo, imagem, nulidade, ordem, bijetividade) preciso saber se A é invertível. Calculo o determinante de A:
Uso expansão pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & 1\\[3pt]0 & 2\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 1\\[3pt]4 & 2\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Calculo cada menor:
\det\begin{pmatrix}-2 & 1\\[3pt]0 & 2\end{pmatrix}=(-2)\cdot 2 - 1\cdot 0 = -4.
\det\begin{pmatrix}3 & 1\\[3pt]4 & 2\end{pmatrix}=3\cdot 2 - 1\cdot 4 = 6-4=2.
Logo
\det(A)=1\cdot(-4)-1\cdot 2 = -4-2 = -6.
Como \det(A)=-6\neq 0, a matriz é invertível. Conclusões imediatas:
  • \ker(T)=\{0\} (apenas solução trivial de A v=0).
  • \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3 (colunas geram \mathbb{R}^3).
  • nulidade =\dim(\ker(T))=0.
  • posto (ordem) =\dim(\operatorname{Im}(T))=3.
  • Como posto =3= dimensão do domínio, T é bijetora (injetora e sobrejetora).]

Passo 5

Verificação de linearidade do item (d): \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada em coordenadas polares por \mathrm{T}(r,\theta)=\bigl(r,\\ \tfrac{\theta}{2}+\tfrac{\pi}{3}\bigr) e T(0)=0.
Raciocínio conceitual: uma transformação linear em \mathbb{R}^2 (na estrutura usual cartesiana) deve satisfazer T(\alpha v)=\alpha T(v) para todo escalar \alpha. Aqui T atua sobre a componente angular \theta adicionando um termo constante \tfrac{\pi}{3}. A presença desse termo constante costuma quebrar a homogeneidade.
Faço um contraexemplo explícito para mostrar que T não é linear. Escolho v=(1,0) em coordenadas cartesianas. Em polares v tem r=1,\\ \theta=0. Então
T(1,0)=T(r=1,\theta=0)=\bigl(1,\\\ 0/2+\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\bigl(1,\tfrac{\pi}{3}\bigr).
Convertendo para cartesianas, isso é o vetor
T(1,0) = \bigl(\cos(\tfrac{\pi}{3}),\\ \sin(\tfrac{\pi}{3})\bigr)=\bigl(\tfrac{1}{2},\\ \tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr).
Agora tomo -v=(-1,0). Em polares -v tem r=1,\\ \theta=\pi. Então
T(-1,0)=T(r=1,\theta=\pi)=\bigl(1,\\ \tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\bigl(1,\tfrac{5\pi}{6}\bigr).
Convertendo para cartesianas:
T(-1,0)=\bigl(\cos(\tfrac{5\pi}{6}),\\ \sin(\tfrac{5\pi}{6})\bigr)=\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2},\\ \tfrac{1}{2}\bigr).
Por outro lado, -T(1,0) (multiplicação escalar por -1 em cartesianas) é
- T(1,0)= -\bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)=\bigl(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr).
Claramente T(-1,0)\neq -T(1,0). Portanto a homogeneidade falha (com \alpha=-1), logo T não é linear. A origem T(0)=0 é uma coincidência que não garante linearidade.

Passo 6

Resumo didático rápido sobre como reconhecer linearidade em provas (dicas práticas):
  • Se cada componente de T é soma de termos do tipo a_{i1}x_1+\cdots+a_{in}x_n (sem termos constantes), então T é linear e tem matriz A=(a_{ij}).
  • Se aparecer constante (p.ex. + alguma constante absoluta) ou operações não lineares (produto entre coordenadas, divisão, ângulo com função trigonométrica, adição de um ângulo constante, etc.), suspeite fortemente que T não é linear; basta um contraexemplo com homogeneidade ou aditividade para concluir que não é linear.
  • Para decidir bijetividade de uma transformação linear representada por matriz quadrada, calcule \det: se \det\neq 0 então é bijetora; se \det=0 então não é injetora (e não bijetora).

Resposta

a) Transformação linear: T:V\to W é linear se, para quaisquer u,v em V e qualquer escalar \alpha, vale T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha T(u). Núcleo: \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.
b) Sim, \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} dada por \mathrm{T}(x,y,z)=(2x-y+3z,\\ x+4y-z) é linear (matriz \begin{pmatrix}2&-1&3\\[4pt]1&4&-1\end{pmatrix}).
c) Sim, \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} dada por \mathrm{T}(x,y,z)=(x+y,\\\ 3x-2y+z,\\\ 4x+2z) é linear; sua matriz é \begin{pmatrix}1&1&0\\[4pt]3&-2&1\\[4pt]4&0&2\end{pmatrix} e \det=-6\neq0.
d) Não, \mathrm{T} dada em polares por \mathrm{T}(r,\theta)=\bigl(r,\tfrac{\theta}{2}+\tfrac{\pi}{3}\bigr) não é linear (contraexemplo: T(-1,0)\neq -T(1,0)).
e) Escolhendo a transformação do item (c): \ker(T)=\{0\}. \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3. Nulidade =0. Ordem (posto) =3. Essa transformação é bijetora.]

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