a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(3 \mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{z}, 4 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}-\mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(x+y, 3 x-y+z, 2 x+4 z)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=\left(\mathrm{r}, \mathrm{e}^{\theta}-1\right), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?

Passo 1

Aqui está o que o enunciado dá e o que ele pede (vou listar tudo com calma, sem começar a resolver ainda):
  • Pedido (a): Definir o que é transformação linear e o que é núcleo (kernel) de uma transformação linear.
  • Pedido (b): Determinar se a transformação \mathrm{T} dada por \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(3\mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{z},\,4\mathrm{x}+2\mathrm{y}-\mathrm{z}) é linear. Observação: o enunciado escreve \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{2} mas a fórmula usa três coordenadas (\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}). Vou supor que isto é um pequeno erro de escrita e que a intenção é \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{2} com entrada (\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}). Estou explicando essa escolha porque preciso de um domínio consistente para testar linearidade.
  • Pedido (c): Determinar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3}, \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(\mathrm{x}+\mathrm{y},\,3\mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z},\,2\mathrm{x}+4\mathrm{z}) é linear.
  • Pedido (d): Determinar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{2} dada pelas coordenadas polares \mathrm{T}(\mathrm{r},\theta)=(\mathrm{r},\,e^{\theta}-1), com a observação T(0)=0, é linear. Aqui o enunciado está definindo a transformação em termos das coordenadas polares do vetor em \mathbb{R}^2 (atenção: soma e multiplicação escalar são as operações habituais em \mathbb{R}^2, não soma de coordenadas polares).
  • Pedido (e): Para UMA das transformações lineares acima (vou escolher uma claramente linear), determinar núcleo, imagem, nulidade e ordem (interpreto “ordem” como a dimensão da imagem, isto é, o posto/rank). Pergunta final: essa transformação é bijetora?
Esses são todos os dados relevantes. A seguir eu explico conceitos e vou testar cada transformação passo a passo.

Passo 2

Definições e ferramentas que vamos usar (explicadas devagar, como numa aula curta):
  • Definição de transformação linear: \text{Uma aplicação }T:V\to W\text{ entre espaços vetoriais é linear se, para todo }u,v\in V\text{ e todo escalar }c,çãçé
T(u+v)=T(u)+T(v)\quad\text{e}\quad T(c\,u)=c\,T(u).
Intuição: uma transformação linear preserva soma de vetores e multiplicação por escalares; em particular preserva combinações lineares: para quaisquer escalares a,b e vetores u,v,
T(a u + b v) = a\,T(u) + b\,T(v).
Um jeito rápido de reconhecer linearidade em coordenadas é: se cada componente de T é uma combinação linear das coordenadas de entrada (sem constantes independentes), então T é linear. Se aparecer um termo constante (por exemplo +1 ou e^\theta-1 que depende não linearmente do ângulo), geralmente não é linear.
  • Definição de núcleo (kernel):
    \ker(T)=\{v\in V \mid T(v)=0\}.
    Intuição: é o conjunto de vetores que são enviados para o vetor nulo em W. A nulidade (nullidade) é a dimensão de \ker(T).
  • Imagem (range) e posto:
    \mathrm{Im}(T)=\{w\in W \mid \exists v\in V,\;T(v)=w\}.
    O posto (rank) de T é a dimensão de \mathrm{Im}(T). O teorema posto-nulidade diz, quando V tem dimensão finita,
    \dim(V)=\mathrm{rank}(T)+\mathrm{nullity}(T).
  • Verificação prática de linearidade:
    • Podemos verificar as duas propriedades (adição e homogeneidade) diretamente com exemplos ou prova geral.
    • Ou escrever T na forma matricial T(v)=A v. Se existe tal matriz A com entradas constantes (números) tal que T(v)=Av para todo v, então T é linear.
Agora aplicamos essas ferramentas a cada item.

Passo 3

Item (b): analisar \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(3\mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{z},\,4\mathrm{x}+2\mathrm{y}-\mathrm{z}) (assumindo \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2).
  • Observação: cada componente é combinação linear das coordenadas \mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z} (não há termos constantes nem funções não-lineares).
  • Podemos escrever T na forma matricial T(v)=A v com A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1\\[4pt] 4 & 2 & -1 \end{pmatrix},e v=\begin{pmatrix}\mathrm{x}\\\ \mathrm{y}\\\ \mathrm{z}\end{pmatrix}.
  • Qualquer aplicação da forma v\mapsto Av com A matriz fixa satisfaz as propriedades de linearidade (porque produto de matriz preserva soma e multiplicação por escalar).
  • Logo \mathrm{T} é uma transformação linear.
(Aqui poderíamos também provar diretamente: tomar u,v em \mathbb{R}^3 e escalar c, checar T(u+v)=T(u)+T(v) e T(cu)=cT(u); a forma matricial já resume essa verificação.)]

Passo 4

Item (c): analisar \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3}, \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(\mathrm{x}+\mathrm{y},\,3\mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z},\,2\mathrm{x}+4\mathrm{z}).
  • Novamente, cada componente é combinação linear das coordenadas \mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}: não há constantes não-lineares.
  • Escrevendo em forma matricial: A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 3 & -1 & 1\\[4pt] 2 & 0 & 4 \end{pmatrix},de modo que \mathrm{T}(v)=A v com v=\begin{pmatrix}\mathrm{x}\\mathrm{y}\\mathrm{z}\end{pmatrix}.
  • Aplicações do tipo v\mapsto A v são lineares, então \mathrm{T} é linear.]

Passo 5

Item (d): analisar \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{2} definida por coordenadas polares \mathrm{T}(\mathrm{r},\theta)=(\mathrm{r},\,e^{\theta}-1), com T(0)=0.
  • Cuidado conceitual: um vetor em \mathbb{R}^{2} escrito em coordenadas polares tem forma (\mathrm{r},\theta) onde \mathrm{r}\ge 0 e \theta é um ângulo. A adição de vetores em \mathbb{R}^2 não se faz somando as coordenadas polares (\mathrm{r}_1+\mathrm{r}_2,\theta_1+\theta_2); soma e multiplicação por escalar são as operações usuais em coordenadas cartesianas. Portanto devemos testar linearidade considerando vetores em \mathbb{R}^2 como pontos cartesianos, mas avaliando T a partir de suas coordenadas polares.
  • Uma forma direta e simples de mostrar que T não é linear é apresentar um contraexemplo que viola aditividade. Considere os vetores cartesianamente: u=(1,0)\quad\text{e}\quad v=(-1,0).Em coordenadas polares: u \text{ tem }(\mathrm{r},\theta)=(1,0),\qquad v \text{ tem }(\mathrm{r},\theta)=(1,\pi).A soma cartesiana é u+v=(0,0), ou seja o vetor nulo; pelo enunciado T(0)=0.
  • Agora calcule T separadamente: T(u)=T(1,0)=\bigl(1,\,e^{0}-1\bigr)=(1,0),
T(v)=T(1,\pi)=\bigl(1,\,e^{\pi}-1\bigr).
Então
T(u)+T(v)=(1,0)+\bigl(1,e^{\pi}-1\bigr)=(2,\,e^{\pi}-1).
Mas T(u+v)=T(0)=(0,0).
  • Conclusão: T(u+v)\neq T(u)+T(v). Portanto T não satisfaz aditividade e não é linear.
  • Comentário adicional (intuitivo): o segundo componente e^{\theta}-1 é uma função não-linear do ângulo \theta; além disso, a dependência de \theta das coordenadas polares é incompatível com as operações lineares em \mathbb{R}^2. Isso já era motivo para desconfiar da linearidade.

Passo 6

Item (e): para UMA das transformações lineares acima, determinar núcleo, imagem, nulidade e ordem (posto). Eu escolho a transformação do item (c), porque é uma transformação \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 representada por matriz quadrada — fica direto verificar bijetividade.
  • Relembrando a matriz de (c): A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 3 & -1 & 1\\[4pt] 2 & 0 & 4 \end{pmatrix}.
  • Primeiro passo: verificar se o núcleo é apenas o vetor nulo. Para isso é suficiente verificar se A é invertível, isto é, se \det(A)\neq 0. Vou calcular o determinante passo a passo: \det(A)= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 3 & -1 & 1\\[4pt] 2 & 0 & 4 \end{vmatrix}.Expandindo pela primeira linha (regra de Sarrus/expansão por cofatores): \det(A) = 1\cdot \begin{vmatrix} -1 & 1\\[4pt] 0 & 4 \end{vmatrix} - 1\cdot \begin{vmatrix} 3 & 1\\[4pt] 2 & 4 \end{vmatrix} + 0\cdot(\cdots).Calcule os menores: \begin{vmatrix} -1 & 1\\[4pt] 0 & 4 \end{vmatrix} = (-1)\cdot 4 - 1\cdot 0 = -4,
\begin{vmatrix} 3 & 1\\[4pt] 2 & 4 \end{vmatrix} = 3\cdot 4 - 1\cdot 2 = 12-2 = 10.
Portanto
\det(A) = 1\cdot(-4) - 1\cdot(10) = -4 -10 = -14.
Como \det(A)=-14\neq 0, a matriz A é invertível.
  • Consequências da invertibilidade:
    • O sistema homogêneo A v = 0 tem apenas a solução trivial v=0. Logo \ker(T)=\{0\}.
    • A dimensão do núcleo (nulidade) é \dim(\ker(T))=0.
    • Porque A é invertível, a imagem é todo o espaço \mathbb{R}^3: \mathrm{Im}(T)=\mathbb{R}^3.
    • O posto (rank, que aqui corresponde ao que o enunciado chama de “ordem”) é \mathrm{rank}(T)=\dim(\mathrm{Im}(T))=3.
  • Bijetividade: uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é bijetora se e somente se é invertível (posto máximo e núcleo trivial). Como \det(A)\neq 0, T é invertível e portanto é bijetora.]

Resposta

(a) Uma transformação linear T:V\to W é uma aplicação que satisfaz T(u+v)=T(u)+T(v) e T(cu)=cT(u) para todo u,v\in V e todo escalar c. O núcleo (kernel) de T é \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.
(b) Sim. \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}, \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(3\mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{z},\,4\mathrm{x}+2\mathrm{y}-\mathrm{z}) é linear (pode ser escrita como T(v)=A v com A=\begin{pmatrix}3&1&-1\\[4pt]4&2&-1\end{pmatrix}).
(c) Sim. \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}, \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(\mathrm{x}+\mathrm{y},\,3\mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z},\,2\mathrm{x}+4\mathrm{z}) é linear (matriz A=\begin{pmatrix}1&1&0\\[4pt]3&-1&1\\[4pt]2&0&4\end{pmatrix}).
(d) Não. \mathrm{T}(\mathrm{r},\theta)=(\mathrm{r},\,e^{\theta}-1) não é linear (contraex.: u=(1,0), v=(-1,0) dão T(u+v)=T(0)=0 mas T(u)+T(v)\neq 0).
(e) Escolhendo a transformação do item (c):
\ker(T)=\{0\}.
\mathrm{Im}(T)=\mathbb{R}^{3}.
\text{nulidade}=\dim(\ker(T))=0.
\text{ordem (posto)}=\dim(\mathrm{Im}(T))=3.
Esta transformação é bijetora: sim.]

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