a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+2 \mathrm{y}-3 \mathrm{z}, 3 \mathrm{x}+\mathrm{y}+2 \mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(2 x-y, 4 x+2 y+3 z, x+z)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=\left(\mathrm{r}, \theta^{3}\right), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?

Passo 1

O enunciado pede:
  • (a) Definir o que é transformação linear e o que é núcleo (ker) de uma transformação linear.
  • (b) Verificar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{2},\; \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(\mathrm{x}+2\mathrm{y}-3\mathrm{z},\;3\mathrm{x}+\mathrm{y}+2\mathrm{z}) é linear. Observação: aqui há uma inconsistência no enunciado: a notação do domínio está escrita como \mathbb{R}^2 mas a regra da transformação usa três coordenadas (x,y,z). Vou assumir que a intenção é \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2.
  • (c) Verificar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3},\; \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(2x-y,\;4x+2y+3z,\;x+z) é linear.
  • (d) Verificar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{2},\; \mathrm{T}(r,\theta)=(r,\theta^{3}) (onde (r,\theta) são coordenadas polares de (x,y) e \mathrm{T}(0)=0) é linear.
  • (e) Para uma das transformações lineares acima, determinar núcleo, imagem, nulidade e ordem (posto). Dizer se é bijetora.
Informações relevantes dadas:
  • As regras explícitas das transformações (os pares coordenados).
  • No caso (b) há a inconsistência domain/tupla que menciono e assumi correção para \mathbb{R}^3.
  • No caso (d) a transformação é descrita em coordenadas polares, o que é um detalhe importante para testar linearidade.
A resolução começa agora.

Passo 2

Definições fundamentais (a) — com explicação didática.
  • Definição de transformação linear: Uma aplicação T:V\to W entre espaços vetoriais sobre o mesmo corpo (aqui \mathbb{R}) é linear se, para todo u,v\in V e todo escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem as propriedades: T(u+v)=T(u)+T(v)e T(\alpha u)=\alpha T(u).Explicação: isso significa que T preserva soma de vetores e multiplicação por escalares — ou seja, respeita a estrutura linear. Na prática, verificar linearidade reduz-se a checar essas duas propriedades em geral.
  • Definição de núcleo (kernel): O núcleo de T, escrito \ker(T), é o conjunto dos vetores do domínio que vão para o vetor zero no contradomínio: \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.Explicação: o núcleo mede “quanto” da informação se perde ao aplicar T. Se \ker(T)=\{0\}, então T é injetora (no caso de espaços finito-dimensionais e linear).

Passo 3

Critério prático para verificar linearidade e estratégia:
  • Para funções dadas por fórmulas coordenada a coordenada (como nos itens b e c), a maneira mais direta é verificar as duas propriedades operando com vetores genéricos u,v e escalar \alpha. Alternativamente, mostrar que a transformação é dada por multiplicação por uma matriz fixa A (isto é, T(x)=Ax) garante linearidade.
  • Para transformações que envolvem operações não-lineares (como potências de coordenadas ou dependência de ângulo em coordenadas polares), buscamos um contraexemplo simples que viole uma das propriedades (soma ou homogeneidade).
Vou aplicar esses passos a cada item.

Passo 4

Verificação do item (b). Primeiro recapitulo a transformação assumindo domínio \mathbb{R}^3:
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\qquad T(x,y,z)=(x+2y-3z,\;3x+y+2z).
Mostrar linearidade usando o teste de matriz:
  • Escrevo T em forma matricial T(v)=A v com v=\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}. A matriz A (2 linhas, 3 colunas) que produz as coordenadas acima é
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3\\[4pt] 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
  • Se uma transformação é dada por v\mapsto Av com A fixa, então para quaisquer u,v e \alpha,
A(u+v)=Au+Av,\qquad A(\alpha u)=\alpha (Au),
porque multiplicação de matrizes respeita soma e multiplicação por escalar. Portanto T é linear.
Mostro também diretamente as propriedades (opcional pedagógico):
  • Tomando u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2),
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2)
\;=\big((x_1+x_2)+2(y_1+y_2)-3(z_1+z_2),\;3(x_1+x_2)+(y_1+y_2)+2(z_1+z_2)\big)
\;=T(u)+T(v).
  • Para \alpha\in\mathbb{R},
T(\alpha u)=T(\alpha x_1,\alpha y_1,\alpha z_1)=\alpha T(u).
Concluo: (b) é transformação linear (assumindo domínio \mathbb{R}^3).]

Passo 5

Verificação do item (c):
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\qquad T(x,y,z)=(2x-y,\;4x+2y+3z,\;x+z).
Novamente escrevo em forma matricial T(v)=A v com
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\[4pt] 4 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Como T é dada por multiplicação por uma matriz fixa A, as propriedades de linearidade seguem automaticamente:
T(u+v)=A(u+v)=Au+Av=T(u)+T(v),
T(\alpha u)=A(\alpha u)=\alpha(Au)=\alpha T(u).
Portanto (c) é transformação linear.]

Passo 6

Verificação do item (d). A transformação foi dada por:
T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\qquad T(r,\theta)=(r,\theta^3),
onde (r,\theta) são as coordenadas polares de (x,y) e \;T(0)=0.
Explicação importante sobre coordenadas polares: um vetor (x,y)\in\mathbb{R}^2 pode ser representado por (r,\theta) com r\ge 0 e \theta ângulo; porém o empacotamento (r,\theta) não é linear como representação — por exemplo, o vetor v=(1,0) tem coordenadas polares (1,0) enquanto -v=(-1,0) tem coordenadas polares (1,\pi). Logo o componente angular muda ao multiplicar por -1.
Para provar que T não é linear basta um contraexemplo que viole a homogeneidade:
  • Tome o vetor v=(1,0) em coordenadas cartesianas. Suas coordenadas polares são (r,\theta)=(1,0). Então
T(v)=T(1,0)=(1,0^3)=(1,0).
  • Multiplicador escalar \alpha=-1. O vetor -v=(-1,0) tem coordenadas polares (r,\theta)=(1,\pi) (usando o ângulo principal \pi). Então
T(-v)=T(1,\pi)=(1,\pi^3).
  • Por outro lado,
-\,T(v) = -\,(1,0)=(-1,0).
Comparando componentes (interpretadas como pares numéricos), (1,\pi^3)\neq(-1,0). Logo
T(-v)\neq -T(v),
o que viola a propriedade T(\alpha v)=\alpha T(v). Portanto T não é linear.
Comentário didático: o uso de coordenadas polares já é sinal de cuidado — transformação linear em \mathbb{R}^2 precisa respeitar a adição e multiplicação por escalares no sistema cartesiano padrão; operações não-lineares em \theta (como elevar ao cubo) normalmente quebram linearidade.

Passo 7

Escolha de uma transformação linear para (e) e cálculo de núcleo, imagem, nulidade e posto. Vou escolher o item (c) (pois é uma transformação \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dada por matriz quadrada, o que facilita calcular núcleo e imagem explicitamente).
Recordando:
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\[4pt] 4 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad T(v)=Av.
Objetivo: achar \ker(T), \operatorname{Im}(T), nulidade \dim\ker(T) e ordem (posto) \operatorname{rank}(A). Procedimento pedagógico:
  • Método 1 (rápido): calcular determinante de A. Se \det(A)\neq 0 então A é invertível, o que implica \ker(T)=\{0\}, \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3, nulidade 0 e posto 3.
  • Calculo do determinante (expansão pela primeira linha):
\det(A)=2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 3\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Compute os dois menores:
\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=2\cdot 1 - 3\cdot 0 = 2,
\det\begin{pmatrix}4 & 3\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=4\cdot 1 - 3\cdot 1 = 1.
Substituindo:
\det(A)=2\cdot 2 -(-1)\cdot 1 = 4 + 1 = 5.
Como \det(A)=5\neq 0, a matriz é invertível.
Consequências:
  • \ker(T)=\{(0,0,0)\} (apenas a solução trivial).
  • \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3 (colunas de A geram \mathbb{R}^3).
  • nulidade \dim\ker(T)=0.
  • posto (ordem) \operatorname{rank}(A)=3.
  • Bijetividade: Como T é linear e invertível (matriz invertível), T é bijetora (injetora e sobrejetora).]

Passo 8

Resumo rápido dos resultados e observações finais (didática prática):
  • Para verificar linearidade, identificar se a regra pode ser escrita como T(x)=Ax (matriz fixa) é a forma mais direta em exercícios de prova.
  • Para transformações que dependem de coordenadas não-lineares (ângulos, potências), busque um contraexemplo simples que viole homogeneidade ou aditividade.
  • Para núcleo/imagem, se a matriz é quadrada e o determinante é não-nulo você já conclui tudo rapidamente: núcleo trivial, imagem o espaço todo, nulidade 0, posto igual à dimensão.

Resposta

(a) Transformação linear: T:V\to W é linear se, para todo u,v\in V e todo \alpha\in\mathbb{R}, T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha T(u). Núcleo: \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.
(b) T(x,y,z)=(x+2y-3z,\;3x+y+2z) é transformação linear (assumindo domínio \mathbb{R}^3).
(c) T(x,y,z)=(2x-y,\;4x+2y+3z,\;x+z) é transformação linear.
(d) T(r,\theta)=(r,\theta^3) (em coordenadas polares) não é linear.
(e) Para a transformação do item (c): \ker(T)=\{(0,0,0)\}. \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3. Nulidade =\dim\ker(T)=0. Ordem (posto) =\operatorname{rank}(A)=3. É bijetora: sim.

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