d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=\left(2 \mathrm{r}, \theta-\frac{\pi}{3}\right), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?
16. a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+3 \mathrm{y}-2 \mathrm{z}, 4 \mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(x-2 y+3 z, 3 x+y, 2 x+z)
Passo 1
O enunciado contém várias perguntas; vou listar claramente o que cada item pede e quais informações são dadas:
Item d) Dá uma transformação T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida em coordenadas polares por
T(r,\theta)=(2r,\;\theta-\tfrac{\pi}{3}),
onde (r,\theta) são as coordenadas polares do ponto (x,y). Também está explícito que T(0)=0. A pergunta implícita é: essa transformação é linear? (No item e) pede análise de uma das transformações lineares acima.)
Item e) Pede: para uma das transformações lineares acima, determine núcleo (kernel), imagem (range), nulidade (dimensão do núcleo) e ordem (interpreto como posto/rank, dimensão da imagem). Pergunta ainda se essa transformação é bijetora.
Item 16 a) Pede: definir transformação linear e núcleo de transformação linear.
Item 16 b) Dá uma transformação (vou interpretar que o domínio é \mathbb{R}^3, pois a imagem \mathrm{T}(x,y,z) usa três coordenadas):
Agora que ficou claro o que se pede e quais são os dados, eu começo a resolver e a ensinar passo a passo.
Passo 2
Definições fundamentais (resposta para 16 a) e mini-aula — o básico que você precisa para entender tudo que vem depois).
Definição de transformação linear: Uma aplicação T entre espaços vetoriais (aqui \mathbb{R}^n e \mathbb{R}^m) é linear se, para quaisquer vetores u,v do domínio e qualquer escalar \alpha, valem as duas propriedades de superposição:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(\alpha u)=\alpha\,T(u).
Estas duas propriedades juntas são frequentemente chamadas de linearidade (ou homogeneidade e aditividade). Na prática, para mapas com componentes que são combinações lineares das coordenadas, isso já garante linearidade.
Núcleo (kernel): O núcleo de uma transformação linear T: V\to W é o conjunto dos vetores do domínio que vão para o vetor zero do contradomínio:
\ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.
É sempre um subespaço do domínio. A nulidade é a dimensão de \ker(T): \nullity(T)=\dim(\ker(T)).
Imagem (range): A imagem de T é o conjunto de vetores em W que são atingidos por T:
A dimensão da imagem é o posto (rank) de T; aqui vou chamar de ordem conforme o enunciado: \operatorname{ordem}(T)=\operatorname{rank}(T)=\dim(\operatorname{Im}(T)).
Relação importante (teorema da dimensão / Teorema da nulidade e posto) para T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m:
\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=n.
Isto ajuda a checar contas rapidamente.
Exemplo rápido para fixar: se T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é dada por multiplicação por uma matriz A invertível, então \ker(T)=\{0\}, nulidade 0, imagem \mathbb{R}^2 e ordem 2; T é bijetora.
Passo 3
Análise detalhada do item d): mostrar que a transformação em coordenadas polares é, de fato, linear — e encontrar a sua representação matricial.
Primeiro, lembretes sobre coordenadas polares e conversão para cartesiano:
Se um ponto em \mathbb{R}^2 tem coordenadas polares (r,\theta), então suas coordenadas cartesianas são
(x,y)=\big(r\cos\theta,\; r\sin\theta\big).
Aplicar T em polares dada por T(r,\theta)=(2r,\theta-\tfrac{\pi}{3}) significa que a imagem em coordenadas cartesianas é
Observação conceitual: a transformação polar (r,\theta)\mapsto(2r,\theta-\tfrac{\pi}{3}) corresponde geometricamente a uma dilatação por 2 seguida de uma rotação de ângulo -\tfrac{\pi}{3}. Dilatações e rotações são transformações lineares quando vistas em coordenadas cartesianas, e a composição de lineares é linear; por isso faz sentido que a expressão cartesiana resulte em uma matriz fixa A.
Portanto, concluímos que a transformação do item d) é linear.]
Passo 4
Calcular núcleo, imagem, nulidade e ordem da transformação do item d) (isto responde e)).
Bijetividade: Como o kernel é trivial e a imagem é todo \mathbb{R}^2, T é injetora e sobrejetora; portanto T é bijetora.]
Passo 5
Verificação detalhada e didática para os itens 16 b) e 16 c): por que são (ou não são) transformações lineares.
Estratégia prática para verificar linearidade: uma aplicação que associa a cada vetor do domínio combinações lineares das coordenadas (sem termos constantes independentes das coordenadas) é linear; formalmente, podemos representar a transformação por uma matriz e então a linearidade é imediata.
Para 16 b) (corrigindo o domínio para \mathbb{R}^3):
Uma multiplicação por matriz define sempre uma transformação linear, porque a multiplicação por matriz satisfaz aditividade e homogeneidade. Portanto o item 16 b) é uma transformação linear.
Se você quisesse checar direto com a definição, escolhe vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e mostra que T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha T(u) pela distributividade das somas e do escalar nas expressões das componentes; mas a forma matricial é o argumento mais simples e imediato.
Resumo didático rápido (como identificar linearidade na prova, truques rápidos):
Se a fórmula de T é composta só por somas e multiplicações das coordenadas por escalares (sem constantes “soltas” como +5 ou termos não-lineares como \sin x, xy, \sqrt{x}), então muito provavelmente é linear; escreva a matriz e pronto.
Se T envolve rotação, reflexão, dilatação ou combinação linear dessas, ela é linear e tem representação matricial fixa.
Se T usa ângulo \theta de forma que a operação seja equivalente a multiplicar o vetor por uma matriz (como no item d)), vale transformar para coordenadas cartesianas e encontrar a matriz: muitas operações que parecem “não-lineares” em coordenadas polares são lineares em cartesianas (rotações, escalamentos radiais etc.), mas cuidado com transformações que dependem de r e \theta de modo não linear (por exemplo (r,\theta)\mapsto (r,\theta+\sin r) não seria linear).
Resposta
d) Sim, T é linear; representação matricial A=\begin{pmatrix}1 & \sqrt{3}\\[4pt] -\sqrt{3} & 1\end{pmatrix}.
e) Núcleo: \ker(T)=\{(0,0)\}
Imagem: \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2
Nulidade: \nullity(T)=0
Ordem (posto): \operatorname{rank}(T)=2
Bijetora? Sim, T é bijetora.
16 a) Transformação linear: T:V\to W é linear se, para todos u,v\in V e todo escalar \alpha, valem T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha T(u).
Núcleo: \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}, subespaço do domínio; nulidade =\dim(\ker(T)).
16 b) Sim, é linear. Matriz associada \begin{pmatrix}1 & 3 & -2\\[4pt] 4 & -1 & 1\end{pmatrix}.