Defina uma transformação linear
cujo núcleo seja a reta
e cuja imagem seja a reta
. Essa transformação é única? Se não, encontre todas.
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear
que satisfaça duas condições:
- o núcleo (kernel) de
é a reta , isto é ; - a imagem (range) de
é a reta , isto é .
As perguntas implícitas são:
- Existe uma transformação linear com essas propriedades?
- Se existir, ela é única? Se não, caracterizar todas as possíveis
.
Passo 2
Vamos traduzir essas condições para a linguagem de matrizes e de dimensões (relacionamentos básicos que vou usar).
- Para uma transformação linear
representada por uma matriz , vale e (espaço gerado pelas colunas de ). - Como
é uma reta (dimensão ) e o espaço de partida tem dimensão , pelo teorema da dimensão (rank-nullity) obtemos . Assim tem dimensão , coerente com a reta .
Portanto buscamos matrizesde posto com e .
Passo 3
Fato útil (e simples): toda matriz de posto
pode ser escrita como produto externo de dois vetores não nulos:
onde
(coluna não nula) e
(coluna não nula). Para essa forma vale
Logo
(todas as imagens são múltiplos de
) e
isto é, o núcleo é o subespaço ortogonal a
.
Usaremos essa factorização para impor as duas condições: coluna-geradora
deve gerar a reta
e o vetor
deve ser ortogonal a
para que
.
Passo 4
Impondo
: isso significa que
tem de ser um múltiplo não-nulo de
. Então existe
tal que
Passo 5
Impondo
: isto equivale a exigir que
seja ortogonal a
. Vetores ortogonais a
são múltiplos de
. Portanto existe
tal que
Passo 6
Agora combinamos
e
na expressão
. Com
temos
Definindo
(um escalar não-nulo), obtemos
Portanto a transformação linear
associada é, para
,
Passo 7
Verificação rápida (para garantir que não falhamos em nada):
- Se
então , logo . Assim . Como (pois ), e portanto como desejado. - A imagem de
é o conjunto de vetores da forma , ou seja, todos os múltiplos de . Logo .
Assim qualquerproduz uma transformação com as propriedades pedidas.
Passo 8
Conclusão sobre unicidade: há infinitas transformações que satisfazem as condições — um parâmetro livre
. A transformação não é única; todas são obtidas por variação de
.
Resposta
Não, a transformação não é única.
Todas as transformações são, para algum ,
Todas as transformações são, para algum
ou equivalentemente