Defina uma transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} cujo núcleo seja a reta y=x e cuja imagem seja a reta y=2 x. Essa transformação é única? Se não, encontre todas.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 que satisfaça duas condições:
  • o núcleo (kernel) de T é a reta y=x, isto é \ker T=\{(t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,1)\};
  • a imagem (range) de T é a reta y=2x, isto é \operatorname{Im}T=\{(s,2s)\mid s\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,2)\}.
As perguntas implícitas são:
  1. Existe uma transformação linear com essas propriedades?
  2. Se existir, ela é única? Se não, caracterizar todas as possíveis T.

Passo 2

Vamos traduzir essas condições para a linguagem de matrizes e de dimensões (relacionamentos básicos que vou usar).
  • Para uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 representada por uma matriz A\in\mathbb{R}^{2\times2}, vale \ker T=\{x\in\mathbb{R}^2:Ax=0\} e \operatorname{Im}T=\operatorname{colspace}(A) (espaço gerado pelas colunas de A).
  • Como \ker T é uma reta (dimensão 1) e o espaço de partida tem dimensão 2, pelo teorema da dimensão (rank-nullity) obtemos \operatorname{rank}(A)=1. Assim \operatorname{Im}T tem dimensão 1, coerente com a reta y=2x.
    Portanto buscamos matrizes A de posto 1 com \ker A=\operatorname{span}\{(1,1)\} e \operatorname{colspace}(A)=\operatorname{span}\{(1,2)\}.

Passo 3

Fato útil (e simples): toda matriz de posto 1 pode ser escrita como produto externo de dois vetores não nulos:
A = u\,v^{T},
onde u\in\mathbb{R}^2 (coluna não nula) e v\in\mathbb{R}^2 (coluna não nula). Para essa forma vale
Ax = u\,(v^{T}x).
Logo \operatorname{Im}A = \operatorname{span}\{u\} (todas as imagens são múltiplos de u) e
\ker A=\{x\in\mathbb{R}^2: v^{T}x=0\}=\{x: x\perp v\},
isto é, o núcleo é o subespaço ortogonal a v.
Usaremos essa factorização para impor as duas condições: coluna-geradora u deve gerar a reta y=2x e o vetor v deve ser ortogonal a (1,1) para que \ker A=\operatorname{span}\{(1,1)\}.

Passo 4

Impondo \operatorname{Im}A=\operatorname{span}\{(1,2)\}: isso significa que u tem de ser um múltiplo não-nulo de (1,2). Então existe \beta\in\mathbb{R}\setminus\{0\} tal que
u=\beta\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Impondo \ker A=\operatorname{span}\{(1,1)\}: isto equivale a exigir que v seja ortogonal a (1,1). Vetores ortogonais a (1,1) são múltiplos de (1,-1). Portanto existe \alpha\in\mathbb{R}\setminus\{0\} tal que
v=\alpha\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora combinamos u e v na expressão A=u v^{T}. Com \alpha,\beta\neq0 temos
A = \beta\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}\bigl(\alpha\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}\bigr)^{T} = (\alpha\beta)\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -1\end{pmatrix}.
Definindo \lambda:=\alpha\beta (um escalar não-nulo), obtemos
A=\lambda\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]2 & -2\end{pmatrix}.
Portanto a transformação linear T associada é, para (x,y)\in\mathbb{R}^2,
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} =\lambda\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]2 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} =\lambda(x-y)\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (para garantir que não falhamos em nada):
  • Se y=x então x-y=0, logo T(x,y)=0. Assim \operatorname{span}\{(1,1)\}\subset\ker T. Como \operatorname{rank}T=1 (pois \lambda\neq0), \dim\ker T=1 e portanto \ker T=\operatorname{span}\{(1,1)\} como desejado.
  • A imagem de T é o conjunto de vetores da forma \lambda(x-y)(1,2), ou seja, todos os múltiplos de (1,2). Logo \operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{(1,2)\}.
    Assim qualquer \lambda\neq0 produz uma transformação com as propriedades pedidas.

Passo 8

Conclusão sobre unicidade: há infinitas transformações que satisfazem as condições — um parâmetro livre \lambda\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. A transformação não é única; todas são obtidas por variação de \lambda.

Resposta

Não, a transformação não é única.
Todas as transformações são, para algum \lambda\in\mathbb{R}\setminus\{0\},
T(x,y)=\lambda(x-y)\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix},
ou equivalentemente
A=\lambda\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]2 & -2\end{pmatrix}, \qquad \lambda\neq0.]

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