Seja o sistema linear A X=\boldsymbol{O}, ou, explicitamente, \left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2 \\\\ -2 & 5 & 2 \\\\ 8 & 1 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]. Podemos encarar a matriz A como uma transformação linear de \mathbb{R}^{3} para \mathbb{R}^{3} e as soluções possíveis como o subespaço \operatorname{ker} A \subset \mathbb{R}^{3}. Encontre \operatorname{Im} A e sua dimensão.
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz e pergunta o espaço imagem e sua dimensão. Dados fornecidos:
Encontrar \operatorname{Im}A (o conjunto de todos os vetores que aparecem como A v, isto é, o espaço gerado pelas colunas de A).
Determinar \dim(\operatorname{Im}A).]
Passo 2
Conceitos rápidos e a estratégia (passo a passo):
\operatorname{Im}A é o mesmo que o subespaço gerado pelas colunas de A: \operatorname{Im}A=\operatorname{span}\{c_1,c_2,c_3\}.
A dimensão de \operatorname{Im}A é o posto (rank) de A, ou seja, o número de colunas linearmente independentes.
Método prático: usar eliminação por linhas (Gauss) para descobrir quantas colunas são pivôs; as colunas-pivô formam uma base do espaço coluna. Vou fazer a eliminação sobre A e acompanhar quais colunas são independentes.
Passo 3
Eliminação por linhas aplicada à matriz A. Começo com
A forma triangular mostra que existem dois pivôs (na coluna 1 e na coluna 2). Logo o posto de A é 2.
Isso significa que exatamente duas colunas de A são linearmente independentes. Normalmente escolhemos as colunas correspondentes aos pivôs como base do espaço coluna; aqui são c_1 e c_2.
Portanto
Verificação e expressão de c_3\) como combinação linear (mostra que a 3ª coluna não acrescenta dimensão):
Procuro \(a,b\in\mathbb{R}\) tais que
\[a\begin{pmatrix}2\\\ -2\\\ 8\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}2\\\ 5\\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ 4\end{pmatrix}.