Seja o sistema linear A X=\boldsymbol{O}, ou, explicitamente, \left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2 \\\\ -2 & 5 & 2 \\\\ 8 & 1 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]. Podemos encarar a matriz A como uma transformação linear de \mathbb{R}^{3} para \mathbb{R}^{3} e as soluções possíveis como o subespaço \operatorname{ker} A \subset \mathbb{R}^{3}. Encontre \operatorname{Im} A e sua dimensão.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz e pergunta o espaço imagem e sua dimensão. Dados fornecidos:
  • A matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2\\[4pt] -2 & 5 & 2\\[4pt] 8 & 1 & 4 \end{pmatrix}.
  • As colunas (escritas como vetores em \mathbb{R}^3) são
c_1=\begin{pmatrix}2\\\ -2\\\ 8\end{pmatrix},\quad c_2=\begin{pmatrix}2\\\ 5\\\ 1\end{pmatrix},\quad c_3=\begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ 4\end{pmatrix}.
O que o exercício pede:
  1. Encontrar \operatorname{Im}A (o conjunto de todos os vetores que aparecem como A v, isto é, o espaço gerado pelas colunas de A).
  2. Determinar \dim(\operatorname{Im}A).]

Passo 2

Conceitos rápidos e a estratégia (passo a passo):
  • \operatorname{Im}A é o mesmo que o subespaço gerado pelas colunas de A: \operatorname{Im}A=\operatorname{span}\{c_1,c_2,c_3\}.
  • A dimensão de \operatorname{Im}A é o posto (rank) de A, ou seja, o número de colunas linearmente independentes.
  • Método prático: usar eliminação por linhas (Gauss) para descobrir quantas colunas são pivôs; as colunas-pivô formam uma base do espaço coluna. Vou fazer a eliminação sobre A e acompanhar quais colunas são independentes.

Passo 3

Eliminação por linhas aplicada à matriz A. Começo com
\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2\\[4pt] -2 & 5 & 2\\[4pt] 8 & 1 & 4 \end{pmatrix}.
Faço operações elementares para zerar abaixo do pivô 2 na primeira coluna:
  • R_2 \leftarrow R_2 + R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1. Após isso obtenho
\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 7 & 4\\[4pt] 0 & -7 & -4 \end{pmatrix}.
Agora somo R_3 com R_2 para zerar a terceira linha:
  • R_3 \leftarrow R_3 + R_2 resulta em
\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 7 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Interpretação do resultado da eliminação:
  • A forma triangular mostra que existem dois pivôs (na coluna 1 e na coluna 2). Logo o posto de A é 2.
  • Isso significa que exatamente duas colunas de A são linearmente independentes. Normalmente escolhemos as colunas correspondentes aos pivôs como base do espaço coluna; aqui são c_1 e c_2.
    Portanto
\operatorname{Im}A=\operatorname{span}\{c_1,c_2\} =\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}2\\\ -2\\\ 8\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\\ 5\\\ 1\end{pmatrix}\right\}.

Passo 5

Verificação e expressão de c_3\) como combinação linear (mostra que a 3ª coluna não acrescenta dimensão): Procuro \(a,b\in\mathbb{R}\) tais que \[a\begin{pmatrix}2\\\ -2\\\ 8\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}2\\\ 5\\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ 4\end{pmatrix}.
Isso dá o sistema
\begin{cases} 2a+2b=2,\\[4pt] -2a+5b=2,\\[4pt] 8a+1b=4. \end{cases}
Da primeira equação vem a+b=1\], então \(a=1-b. Substituindo na segunda:
-2(1-b)+5b=2 \quad\Rightarrow\quad -2+2b+5b=2 \quad\Rightarrow\quad 7b=4 \quad\Rightarrow\quad b=\tfrac{4}{7}.
Então a=1-\tfrac{4}{7}=\tfrac{3}{7}. A terceira equação confirma isso:
8\cdot\tfrac{3}{7}+\tfrac{4}{7}=\tfrac{24+4}{7}=\tfrac{28}{7}=4.
Portanto
c_3=\tfrac{3}{7}c_1+\tfrac{4}{7}c_2,
mostrando que c_3 está no span de c_1,c_2, ou seja, não aumenta a dimensão.]

Passo 6

Descrição geométrica do espaço imagem (uma reta ou plano?):
  • Como o posto é 2, \operatorname{Im}A é um plano passando pela origem em \mathbb{R}^3.
  • Para escrever esse plano como uma equação linear, encontro um vetor normal n=(n_1,n_2,n_3) ortogonal a c_1 e c_2, resolvendo
n\cdot c_1=0,\qquad n\cdot c_2=0.
Escrevendo as equações:
2n_1-2n_2+8n_3=0,\qquad 2n_1+5n_2+n_3=0.
Subtraindo adequadamente (ou resolvendo o sistema) obtém-se n_2=n_3 e n_1=-3n_3. Tomando n_3=1 uma escolha conveniente é
n=\begin{pmatrix}-3\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Assim o plano imagem pode ser descrito por
-3x+y+z=0,
ou seja,
\operatorname{Im}A=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid -3x+y+z=0\}.]

Passo 7

Conclusão sobre a dimensão:
  • Como o posto de A é 2, segue que
\dim(\operatorname{Im}A)=2.

Resposta

\operatorname{Im}A=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}2\\\ -2\\\ 8\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\\ 5\\\ 1\end{pmatrix}\right\}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid -3x+y+z=0\}
\dim(\operatorname{Im}A)=2

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