Seja uma transformação linear T: M(n, 1) \rightarrow M(m, 1) definida por T(X)=A X, onde A é uma matriz constante m \times n e X é uma matrix n \times 1. Para as matrizes A abaixo encontre \operatorname{ker} T e \operatorname{Im} T. Qual a dimensão desses subespaços? (Encontre bases.)
A=\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 0 & 1 \\\\ -1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T: M(n,1)\to M(m,1) definida por T(X)=AX, com
A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]0 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix},
onde A é 3\times2 e X é vetor coluna 2\times1. O que pede:
  • Encontrar \ker T (núcleo): todos os vetores X\in\mathbb{R}^2 tais que AX=0.
  • Encontrar \operatorname{Im}T (imagem): o subespaço de \mathbb{R}^3 formado por todos os vetores AX.
  • Para cada subespaço: dar uma base e a dimensão.
Informações relevantes dadas:
  • A tem duas colunas (veja-as explicitamente): \;c_1=\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{pmatrix}, \;c_2=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
  • O espaço domínio tem dimensão n=2 e o contradomínio tem dimensão m=3.]

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo, sem pular etapas):
  • Para \ker T: resolver o sistema linear AX=0. Escrevo X=\begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\end{pmatrix} e traduzo AX=0 em equações escalares; depois resolvo por eliminação simples.
  • Para \operatorname{Im}T: lembrar que a imagem é gerada pelas colunas de A: \operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{c_1,c_2\}. Vou verificar se c_1 e c_2 são linearmente independentes (se forem, formam uma base da imagem); caso contrário, pegar somente as colunas independentes como base.
  • Vou usar também o teorema posto: \dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im}T)=n para checar consistência do resultado.]

Passo 3

Cálculo do núcleo [\ker T).
Escrevo X=\begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\end{pmatrix}. A multiplicação AX dá as três equações:
\begin{cases} 2x_1 - x_2 = 0,\\[4pt] 0x_1 + 1x_2 = 0,\\[4pt] -1x_1 + 1x_2 = 0. \end{cases}
Agora resolvo essas equações uma a uma:
  • Da segunda equação obtemos imediatamente \;x_2=0\]. - Substituindo em \(\;2x_1 - x_2 = 0 fica \;2x_1 - 0 = 0, logo \;x_1=0.
    - A terceira equação é -x_1+x_2=0, que com x_1=0 e x_2=0 também é satisfeita.
Conclusão: a única solução é x_1=0,\;x_2=0. Portanto
\ker T=\left\{\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix}\right\},
ou seja, o núcleo é o subespaço trivial.
Explicação didática curta: quando a única solução de AX=0 é o vetor zero, dizemos que o núcleo é \{0\} e sua dimensão é 0. Uma base do subespaço trivial é a base vazia (não há vetores não-nulos que gerem somente o zero).]

Passo 4

Cálculo da imagem [\operatorname{Im}T).
A imagem é o espaço gerado pelas colunas de A:
\operatorname{Im}T=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}\right\}.
Para saber se essas duas colunas formam uma base, verifico se são linearmente independentes. Faço a equação de dependência:
\alpha\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema escalar:
\begin{cases} 2\alpha - \beta = 0,\\[4pt] 0\alpha + \beta = 0,\\[4pt] - \alpha + \beta = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem \beta=0\]. Substituindo em \(2\alpha-\beta=0 obtemos 2\alpha=0, ou seja \alpha=0. Assim a única solução é \alpha=\beta=0, o que mostra que c_1 e c_2 são linearmente independentes.
Logo as duas colunas são independentes e formam uma base da imagem. Portanto
\operatorname{Im}T=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}\right\},
e uma base explícita é \left\{\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}\right\}.
A dimensão da imagem é o número de vetores dessa base, ou seja \dim(\operatorname{Im}T)=2. Checo com o teorema da dimensão: \dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im}T)=0+2=2=n, consistente.]

Passo 5

Resumo final do que foi encontrado (para ficar claro como aplicar isso numa prova):
  • Para encontrar \ker T resolvi AX=0 componente a componente; quando só dá a solução trivial, a base do núcleo é vazia e a dimensão é 0.
  • Para \operatorname{Im}T olhei as colunas de A; verifiquei independência linear resolvendo \alpha c_1+\beta c_2=0. Como só há solução trivial, as colunas são base da imagem e a dimensão é o número de colunas independentes (aqui, 2).

Resposta

\ker T=\left\{\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix}\right\},\quad\text{base: }\varnothing,\quad \dim(\ker T)=0
\operatorname{Im}T=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}\right\},\quad\text{base: }\left\{\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}\right\},\quad \dim(\operatorname{Im}T)=2\]

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