Seja uma transformação linear T: M(n, 1) \rightarrow M(m, 1) definida por T(X)=A X, onde A é uma matriz constante m \times n e X é uma matrix n \times 1. Para as matrizes A abaixo encontre \operatorname{ker} T e \operatorname{Im} T. Qual a dimensão desses subespaços? (Encontre bases.)
A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\\\ -1 & 1 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: M(n,1)\to M(m,1) definida por T(X)=A X. Aqui temos a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 1\\[4pt]-1 & 1 & 3\end{pmatrix},
ou seja, m=2 e n=3. O que é pedido:
  • Encontrar \operatorname{ker}T (o núcleo), isto é, o conjunto de vetores X\in M(3,1) tais que A X=0, e fornecer uma base para ele; e determinar a dimensão de \operatorname{ker}T.
  • Encontrar \operatorname{Im}T (a imagem), isto é, o subconjunto de M(2,1) formado por todos os vetores AX, fornecer uma base para a imagem; e determinar a dimensão de \operatorname{Im}T.]

Passo 2

O que significa cada objeto e qual método vou usar (passo a passo, sem pular etapas).
  • Definição do núcleo: \operatorname{ker}T=\{X\in\mathbb{R}^3 \mid A X=0\}. Para achar uma base, resolvo o sistema homogêneo A X=0.
  • Definição da imagem: \operatorname{Im}T é o subespaço gerado pelas colunas de A. Uma base natural para \operatorname{Im}T é um subconjunto das colunas de A que seja linearmente independente e gere todas as colunas (ou seja, uma base do espaço coluna).
    Método escolhido: resolver o sistema linear para o núcleo (eliminação / substituição) e verificar independência linear das colunas para a imagem (mostrar combinação linear).

Passo 3

Resolver A X=0\). Escrevo \(X=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix}\) e monto o sistema: \[\begin{cases} 2x_1 + 0\cdot x_2 + 1x_3 = 0,\\[4pt] -1x_1 + 1x_2 + 3x_3 = 0. \end{cases}
Simplificando:
\begin{cases} 2x_1 + x_3 = 0,\\[4pt] -x_1 + x_2 + 3x_3 = 0. \end{cases}
Da primeira equação isolo x_3\]: \[x_3 = -2x_1.\] Substituo esse \(x_3 na segunda equação:
-x_1 + x_2 + 3(-2x_1) = 0 \quad\Rightarrow\quad -x_1 + x_2 -6x_1 = 0.
Agrupando termos em x_1:
x_2 -7x_1 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_2 = 7x_1.
Portanto x_1 é parâmetro livre. Chamo t=x_1. Então
x_1 = t,\qquad x_2 = 7t,\qquad x_3 = -2t.
Escrevendo X em função de t:
X = t\begin{pmatrix}1\\[4pt]7\\[4pt]-2\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Conclusão do passo: todos os vetores solução são múltiplos de \begin{pmatrix}1\\[4pt]7\\[4pt]-2\end{pmatrix}. Logo \operatorname{ker}T=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]7\\[4pt]-2\end{pmatrix}\right\} e a dimensão do núcleo é 1.]

Passo 4

Encontrar \operatorname{Im}T\) (espaço coluna de \(A\)). As colunas de \(A\) são \[c_1=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\end{pmatrix},\quad c_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad c_3=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Por definição \operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{c_1,c_2,c_3\}. Para achar uma base, verifico se há dependência linear entre essas colunas. Tento escrever c_3 como combinação de c_1 e c_2: procuro a,b tais que
a c_1 + b c_2 = c_3.
Isso dá o sistema (componentes):
\begin{cases} 2a + 0\cdot b = 1,\\[4pt] - a + 1\cdot b = 3. \end{cases}
Da primeira equação 2a=1\] então \(a=\tfrac{1}{2}. Substituo na segunda:
- \tfrac{1}{2} + b = 3 \quad\Rightarrow\quad b = 3 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{7}{2}.
Logo
c_3 = \tfrac{1}{2}c_1 + \tfrac{7}{2}c_2.
Isto mostra que c_3 é combinação linear de c_1 e c_2, portanto as três colunas não são independentes. Verifico que c_1 e c_2 são linearmente independentes: para \alpha c_1 + \beta c_2 = 0 as componentes dão 2\alpha=0\Rightarrow\alpha=0 e então \beta=0. Assim \{c_1,c_2\} é um conjunto independente. Como além disso c_3 depende de c_1,c_2, concluímos que \{c_1,c_2\} é uma base para \operatorname{Im}T.
Observação extra útil: c_1 e c_2 são dois vetores em \mathbb{R}^2 e são independentes, então geram todo \mathbb{R}^2. Portanto \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^2 (ou, escrito no mesmo tipo do enunciado, \operatorname{Im}T = M(2,1)). A dimensão da imagem (posto) é 2.]

Passo 5

Conferência com o teorema posto-nulidade: para transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 vale
\dim(\operatorname{ker}T) + \dim(\operatorname{Im}T) = 3.
Aqui encontramos \dim(\operatorname{ker}T)=1 e \dim(\operatorname{Im}T)=2, soma 1+2=3, consistente. Pequeno incentivo: está tudo coerente — núcleo unidimensional, imagem todo \mathbb{R}^2. Boa!

Resposta

\operatorname{ker}T=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]7\\[4pt]-2\end{pmatrix}\}, \dim(\operatorname{ker}T)=1
\operatorname{Im}T=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}=\mathbb{R}^2, \dim(\operatorname{Im}T)=2]

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