. Uma partícula de massa m move-se ao longo de uma trajetória descrita em coordenadas esféricas por r(t), \theta(t), \varphi(t). A força agindo sobre ela possui componentes esféricas F_{r}, F_{\theta}, F_{\varphi}. Calcule as componentes esféricas do momento angular e do torque em torno da origem e verifique através de cálculo direto que
\frac{d \vec{L}}{d t}=\vec{N}
segue diretamente da equação de movimento de Newton.

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de massa m que se move com coordenadas esféricas \,r(t),\theta(t),\varphi(t)\,. A força que age sobre a partícula tem componentes esféricas \,F_{r},F_{\theta},F_{\varphi}\,. O que se pede:
  1. Calcular as componentes esféricas do momento angular em torno da origem \vec{L}.
  2. Calcular as componentes esféricas do torque em torno da origem \vec{N}.
  3. Verificar por cálculo direto que \dfrac{d\vec{L}}{dt}=\vec{N} segue da equação de movimento de Newton.
Informações relevantes fornecidas:
  • Massa: m.
  • Coordenadas generalizadas: r(t),\theta(t),\varphi(t).
  • Componentes da força na base esférica: F_{r},F_{\theta},F_{\varphi}.
A partir daqui vou calcular passo a passo e explicar cada fórmula usada.

Passo 2

Definição e propriedades úteis da base esférica e das suas derivadas temporais.
As versores da base esférica (expressas em coordenadas cartesianas) são:
\hat{r}=(\sin\theta\cos\varphi,\;\sin\theta\sin\varphi,\;\cos\theta)
\hat{\theta}=(\cos\theta\cos\varphi,\;\cos\theta\sin\varphi,\;-\sin\theta)
\hat{\varphi}=(-\sin\varphi,\;\cos\varphi,\;0)
Explicação rápida: \hat{r} aponta radialmente, \hat{\theta} aponta na direção de \theta decrescente (plano meridiano) e \hat{\varphi} é tangente na direção azimutal. Essas três versores formam uma base ortonormal local (isto é, mutuamente perpendiculares e de norma 1).
Fórmulas importantes das derivadas temporais desses versores (obtidas diferenciando suas componentes ou usando relações conhecidas da base esférica):
\dot{\hat{r}}=\dot{\theta}\,\hat{\theta}+\dot{\varphi}\sin\theta\,\hat{\varphi}
\dot{\hat{\theta}}=-\dot{\theta}\,\hat{r}+\dot{\varphi}\cos\theta\,\hat{\varphi}
\dot{\hat{\varphi}}=-\dot{\varphi}\sin\theta\,\hat{r}-\dot{\varphi}\cos\theta\,\hat{\theta}
Aqui, por exemplo, \dot{\hat{r}} mostra que quando \theta varia a direção radial gira com componente na direção \hat{\theta}, e quando \varphi varia há componente azimutal proporcional a \sin\theta.

Passo 3

Posição, velocidade e momento linear (explicando cada passo).
A posição em coordenadas esféricas é
\vec{r}=r\,\hat{r}.
Velocidade é a derivada temporal de \vec{r}. Usando a regra do produto e a fórmula de \dot{\hat r}:
\vec{v}=\dot{\vec r}=\dot{r}\,\hat{r}+r\,\dot{\hat r}
Substituindo \dot{\hat r} obtemos
\vec{v}=\dot{r}\,\hat{r}+r\dot{\theta}\,\hat{\theta}+r\dot{\varphi}\sin\theta\,\hat{\varphi}.
Interpretação: existem três contribuições para a velocidade — variação radial \dot r na direção \hat r, variação polar r\dot\theta na direção \hat\theta, e variação azimutal r\dot\varphi\sin\theta na direção \hat\varphi.
O momento linear (quantidade de movimento) é
\vec{p}=m\vec{v}=m\big(\dot{r}\,\hat{r}+r\dot{\theta}\,\hat{\theta}+r\dot{\varphi}\sin\theta\,\hat{\varphi}\big).

Passo 4

Cálculo do momento angular \vec{L}=\vec{r}\times\vec{p} em componentes esféricas (passo-a-passo do produto vetorial).
Começamos com
\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}=m\,\vec{r}\times\vec{v}=m\big(r\hat{r}\big)\times\big(\dot{r}\,\hat{r}+r\dot{\theta}\,\hat{\theta}+r\dot{\varphi}\sin\theta\,\hat{\varphi}\big).
O termo com \hat{r}\times\hat{r} é zero, então só restam os outros dois:
\vec{L}=m\,r\big[r\dot{\theta}\,(\hat{r}\times\hat{\theta})+r\dot{\varphi}\sin\theta\,(\hat{r}\times\hat{\varphi})\big].
Usando as identidades de produto vetorial da base esférica \hat{r}\times\hat{\theta}=\hat{\varphi} e \hat{r}\times\hat{\varphi}=-\hat{\theta}, obtemos
\vec{L}=m\,r^{2}\big(\dot{\theta}\,\hat{\varphi}-\dot{\varphi}\sin\theta\,\hat{\theta}\big).
Logo, as componentes esféricas (projeções sobre \hat{r},\hat{\theta},\hat{\varphi}) são:
L_{r}=0,
L_{\theta}=-m\,r^{2}\dot{\varphi}\sin\theta,
L_{\varphi}=m\,r^{2}\dot{\theta}.
Comentário: faz sentido físico que não haja componente radial de \vec L quando \vec L=\vec r\times m\vec v e \vec r é paralelo a \hat r.

Passo 5

Cálculo do torque \vec{N}=\vec{r}\times\vec{F} em componentes esféricas.
A força em base esférica é \vec{F}=F_{r}\,\hat{r}+F_{\theta}\,\hat{\theta}+F_{\varphi}\,\hat{\varphi}. Então
\vec{N}=\vec{r}\times\vec{F}=r\hat{r}\times\big(F_{r}\,\hat{r}+F_{\theta}\,\hat{\theta}+F_{\varphi}\,\hat{\varphi}\big).
O termo com \hat r\times\hat r se anula; sobram:
\vec{N}=r\big(F_{\theta}\,(\hat{r}\times\hat{\theta})+F_{\varphi}\,(\hat{r}\times\hat{\varphi})\big).
Usando as mesmas identidades de produto vetorial:
\vec{N}=r\big(F_{\theta}\,\hat{\varphi}-F_{\varphi}\,\hat{\theta}\big).
Logo as componentes esféricas do torque são:
N_{r}=0,
N_{\theta}=-r\,F_{\varphi},
N_{\varphi}=r\,F_{\theta}.

Passo 6

Verificação direta de \dfrac{d\vec{L}}{dt}=\vec{N} a partir da equação de movimento de Newton (passo simples e elegante).
Usamos a definição \vec{L}=\vec{r}\times\vec{p} e derivamos em relação ao tempo aplicando a regra do produto para o produto vetorial:
\frac{d\vec{L}}{dt}=\frac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{p})=\dot{\vec{r}}\times\vec{p}+\vec{r}\times\dot{\vec{p}}.
Agora usamos \vec{p}=m\vec{v}=m\dot{\vec r} e a segunda lei de Newton \dot{\vec{p}}=\vec{F}. Assim
\dot{\vec{r}}\times\vec{p}=\vec{v}\times (m\vec{v})=m(\vec{v}\times\vec{v})=m\cdot\vec{0}=\vec{0},
porque o produto vetorial de um vetor por si mesmo é zero. Portanto sobra
\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{r}\times\dot{\vec{p}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{N}.
Isto mostra que, de forma direta e independendente da escolha de coordenadas, a taxa de variação do momento angular em relação ao tempo é igual ao torque aplicado. Como verificação de consistência, as componentes calculadas nos Passos 4 e 5 são coerentes com essa identidade quando se substitui \vec F=m\vec a e se faz a derivada temporal completa de \vec L (levando em conta as derivadas dos versores).

Resposta

\displaystyle \vec{L}=m\,r^{2}\big(\dot{\theta}\,\hat{\varphi}-\dot{\varphi}\sin\theta\,\hat{\theta}\big) \
\displaystyle L_{r}=0,\quad L_{\theta}=-m\,r^{2}\dot{\varphi}\sin\theta,\quad L_{\varphi}=m\,r^{2}\dot{\theta} \
\displaystyle \vec{N}=r\big(F_{\theta}\,\hat{\varphi}-F_{\varphi}\,\hat{\theta}\big) \
\displaystyle N_{r}=0,\quad N_{\theta}=-r\,F_{\varphi},\quad N_{\varphi}=r\,F_{\theta} \
\displaystyle \frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{N}, pois \dfrac{d}{dt}(\vec r\times\vec p)=\dot{\vec r}\times\vec p+\vec r\times\dot{\vec p}=\vec v\times m\vec v+\vec r\times\vec F=\vec 0+\vec r\times\vec F=\vec N.

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