. Uma partícula de massa
move-se ao longo de uma trajetória descrita em coordenadas esféricas por
. A força agindo sobre ela possui componentes esféricas
. Calcule as componentes esféricas do momento angular e do torque em torno da origem e verifique através de cálculo direto que
segue diretamente da equação de movimento de Newton.
Passo 1
O enunciado dá uma partícula de massa
que se move com coordenadas esféricas
. A força que age sobre a partícula tem componentes esféricas
. O que se pede:
- Calcular as componentes esféricas do momento angular em torno da origem
. - Calcular as componentes esféricas do torque em torno da origem
. - Verificar por cálculo direto que
segue da equação de movimento de Newton.
Informações relevantes fornecidas:
- Massa:
. - Coordenadas generalizadas:
. - Componentes da força na base esférica:
.
A partir daqui vou calcular passo a passo e explicar cada fórmula usada.
Passo 2
Definição e propriedades úteis da base esférica e das suas derivadas temporais.
As versores da base esférica (expressas em coordenadas cartesianas) são:
Explicação rápida:
aponta radialmente,
aponta na direção de
decrescente (plano meridiano) e
é tangente na direção azimutal. Essas três versores formam uma base ortonormal local (isto é, mutuamente perpendiculares e de norma 1).
Fórmulas importantes das derivadas temporais desses versores (obtidas diferenciando suas componentes ou usando relações conhecidas da base esférica):
Aqui, por exemplo,
mostra que quando
varia a direção radial gira com componente na direção
, e quando
varia há componente azimutal proporcional a
.
Passo 3
Posição, velocidade e momento linear (explicando cada passo).
A posição em coordenadas esféricas é
Velocidade é a derivada temporal de
. Usando a regra do produto e a fórmula de
:
Substituindo
obtemos
Interpretação: existem três contribuições para a velocidade — variação radial
na direção
, variação polar
na direção
, e variação azimutal
na direção
.
O momento linear (quantidade de movimento) é
Passo 4
Cálculo do momento angular
em componentes esféricas (passo-a-passo do produto vetorial).
Começamos com
O termo com
é zero, então só restam os outros dois:
Usando as identidades de produto vetorial da base esférica
e
, obtemos
Logo, as componentes esféricas (projeções sobre
) são:
Comentário: faz sentido físico que não haja componente radial de
quando
e
é paralelo a
.
Passo 5
Cálculo do torque
em componentes esféricas.
A força em base esférica é
. Então
O termo com
se anula; sobram:
Usando as mesmas identidades de produto vetorial:
Logo as componentes esféricas do torque são:
Passo 6
Verificação direta de
a partir da equação de movimento de Newton (passo simples e elegante).
Usamos a definição
e derivamos em relação ao tempo aplicando a regra do produto para o produto vetorial:
Agora usamos
e a segunda lei de Newton
. Assim
porque o produto vetorial de um vetor por si mesmo é zero. Portanto sobra
Isto mostra que, de forma direta e independendente da escolha de coordenadas, a taxa de variação do momento angular em relação ao tempo é igual ao torque aplicado. Como verificação de consistência, as componentes calculadas nos Passos 4 e 5 são coerentes com essa identidade quando se substitui
e se faz a derivada temporal completa de
(levando em conta as derivadas dos versores).