Se define la función: f: R R ; f(x)=ca-x^2 si x <= 1 2^x si 13 ¿La función es derivable en x=3 ? Justificar.

Passo 1

Temos a função por partes e queremos saber se ela é derivável em x=3. O conteúdo aqui é “derivabilidade de funções definidas por partes” e vamos precisar verificar a continuidade em x=3 e, se for contínua, comparar as derivadas laterais nesse ponto.

Passo 2

Para ser derivável em x=3, primeiro f deve ser contínua em x=3. Calculamos
– Lado esquerdo:
limxto3^-f(x)=2^3=8
– Lado direito:
limxto3^+f(x)=b-33
Igualando para haver continuidade temos
8=b-33Rightarrow b-3=24Rightarrow b=27

Passo 3

Agora calculamos as derivadas laterais em x=3. Derivada à esquerda: para x<3 f(x)=2^x, então
f'(x)=2^xln2Rightarrow f'-(3)=2^3ln2=8ln2

Passo 4

Derivada à direita: para x>3 f(x)=\tfrac{b-x}{x}=\tfrac{b}{x}-1, então
f'(x)=-bx^2Rightarrow f'+(3)=-b3^2=-279=-3

Passo 5

Como mesmo escolhendo b=27 (para garantir continuidade) obtemos derivadas laterais diferentes ( 8ln2neq -3), a função não é derivável em x=3.

Resposta

A função não é derivável em x=3.

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