Leia numa calculadora o número que indica raiz[3]2 e com ele defina um par de classes contíguas que definem o irracional raiz[3]2. Qual o corte de Dedekind definindo este número? Prove, por meio do Exercício 9, que este número é irracional.

Passo 1

O enunciado pede, a partir da aproximação de raiz[3]2 numa calculadora, que definamos um par de classes contíguas em Q que determinam esse número como um corte de Dedekind e, em seguida, que provemos que raiz[3]2 é irracional. O conteúdo principal é a teoria de cortes de Dedekind e o argumento clássico da irracionalidade de raízes.

Passo 2

Usando a calculadora vemos que raiz[3]2approx1.26. Para capturar exatamente esse número por um corte, definimos em Q as duas classes:
A=qinQ:q^3<2,
B=qinQ:q^3>2

Passo 3

Vamos verificar que A e B formam um corte de Dedekind contíguo:
– Nem A nem B são vazias (por exemplo, 1in A e 2in B).
A e B são disjuntas e cobrem todos os racionais que não satisfazem q^3=2.
– Se ain A e bin B, então a^3<2, o que implica a.
A não tem máximo: dado ain A, escolha a' suficientemente perto para que a e ainda (a')^3<2.
– De modo análogo, B não tem mínimo.

Passo 4

Portanto o corte de Dedekind que define raiz[3]2 é o par
l(A,Br)=l(qinQ:q^3<2,qinQ:q^3>2r)

Passo 5

Para provar que raiz[3]2 é irracional, usamos o clássico exercí
cio de número 9: suponha, por contradição, que exista fração irredutível a/b tal que
raiz[3]2=ab
Elevando ao cubo,
a^3=2,b^3
Isso diz que 2 divide a^3, logo 2 divide a. Escreva a=2k. Então
(2k)^3=8k^3=2b^3implies4k^3=b^3
Assim 2 divide também b^3 e então b, contradizendo a irredutibilidade de a/b. Portanto raiz[3]2 não é racional.

Passo 6

Com isso definimos o corte exato e mostramos por contradição que não há representação racional para raiz[3]2.

Resposta

O corte de Dedekind que define raiz[3]2 é
l(A,Br)=l(qinQ:q^3<2,qinQ:q^3>2r)

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