Leia numa calculadora o número que indica
e com ele defina um par de classes contíguas que definem o irracional
. Qual o corte de Dedekind definindo este número? Prove, por meio do Exercício 9, que este número é irracional.
Passo 1
O enunciado pede, a partir da aproximação de
numa calculadora, que definamos um par de classes contíguas em
que determinam esse número como um corte de Dedekind e, em seguida, que provemos que
é irracional. O conteúdo principal é a teoria de cortes de Dedekind e o argumento clássico da irracionalidade de raízes.
Passo 2
Usando a calculadora vemos que
. Para capturar exatamente esse número por um corte, definimos em
as duas classes:
Passo 3
Vamos verificar que
e
formam um corte de Dedekind contíguo:
– Nem nem
são vazias (por exemplo,
e
).
– e
são disjuntas e cobrem todos os racionais que não satisfazem
.
– Se e
, então
, o que implica
.
– não tem máximo: dado
, escolha
suficientemente perto para que
e ainda
.
– De modo análogo, não tem mínimo.
– Nem
–
– Se
–
– De modo análogo,
Passo 4
Portanto o corte de Dedekind que define
é o par
Passo 5
Para provar que
é irracional, usamos o clássico exercí
cio de número 9: suponha, por contradição, que exista fração irredutível tal que
cio de número 9: suponha, por contradição, que exista fração irredutível
Elevando ao cubo,
Isso diz que 2 divide
, logo 2 divide
. Escreva
. Então
Assim 2 divide também
Passo 6
Com isso definimos o corte exato e mostramos por contradição que não há representação racional para
.
Resposta
O corte de Dedekind que define
é