Define se o Laplaciano de uma função f: A \subset \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} de classe C^{2} por
\Delta f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}
Note que \Delta f=\operatorname{div}(\nabla f). Verifique as seguintes relações:
\Delta(f g)=f \Delta g-g \Delta f+2 \nabla f \cdot \nabla g

Passo 1

O enunciado define o Laplaciano de uma função \!f\colon A\subset\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} de classe C^2 por
\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2},
e observa que \Delta f = \mathrm{div}(\nabla f). Queremos usar essas definições para calcular \Delta(fg).

Passo 2

Aplicamos primeiro a regra do produto à operação gradiente:
\nabla(fg) \;=\;\bigl(\partial_x(fg),\,\partial_y(fg),\,\partial_z(fg)\bigr) \;=\;\bigl(f\,\partial_x g + g\,\partial_x f,\;f\,\partial_y g + g\,\partial_y f,\;f\,\partial_z g + g\,\partial_z f\bigr).
Em notação vetorial:
\nabla(fg) \;=\; f\,\nabla g \;+\; g\,\nabla f.

Passo 3

Agora aplicamos a divergência ao vetor \nabla(fg):
\Delta(fg) \;=\;\mathrm{div}\bigl(\nabla(fg)\bigr) \;=\;\mathrm{div}\bigl(f\,\nabla g + g\,\nabla f\bigr) \;=\;\mathrm{div}(f\,\nabla g)\;+\;\mathrm{div}(g\,\nabla f).

Passo 4

Usamos a fórmula da divergência de um escalar vezes um vetor, \mathrm{div}(\varphi\,V)=\nabla\varphi\cdot V+\varphi\,\mathrm{div}V.
Para o primeiro termo, com \varphi=f e V=\nabla g:
\mathrm{div}(f\,\nabla g) =\nabla f\cdot\nabla g \;+\; f\,\mathrm{div}(\nabla g) =\nabla f\cdot\nabla g \;+\; f\,\Delta g.
Para o segundo termo, com \varphi=g e V=\nabla f:
\mathrm{div}(g\,\nabla f) =\nabla g\cdot\nabla f \;+\; g\,\mathrm{div}(\nabla f) =\nabla f\cdot\nabla g \;+\; g\,\Delta f.
Somando os dois resultados,
\Delta(fg) =\bigl(\nabla f\cdot\nabla g + f\,\Delta g\bigr) +\bigl(\nabla f\cdot\nabla g + g\,\Delta f\bigr) = f\,\Delta g \;+\; g\,\Delta f \;+\;2\,\nabla f\cdot\nabla g.

Resposta

\Delta(fg)=f\,\Delta g \;+\; g\,\Delta f \;+\;2\,\nabla f\cdot\nabla g.

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