Define se o Laplaciano de uma função
de classe
por
Note que
. Verifique as seguintes relações:
Passo 1
O enunciado define o Laplaciano de uma função
de classe
por
e observa que
. Queremos usar essas definições para calcular
.
Passo 2
Aplicamos primeiro a regra do produto à operação gradiente:
Em notação vetorial:
Passo 3
Agora aplicamos a divergência ao vetor
:
Passo 4
Usamos a fórmula da divergência de um escalar vezes um vetor,
.
Para o primeiro termo, com e
:
Para o primeiro termo, com
Para o segundo termo, com
e
:
Somando os dois resultados,