Uma função
, de classe
é dita harmônica se
(analogamente em
). Verifique se as seguintes funções são harmônicas.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é harmônica em
.
Isto significa checar se o Laplaciano
é zero.
Isto significa checar se o Laplaciano
é zero.
Passo 2
Calcular a derivada segunda em relação a
.
Primeiro,
Primeiro,
de onde
Passo 3
Calcular a derivada segunda em relação a
.
Temos
Temos
Derivando de novo em
,
Passo 4
Calcular a derivada segunda em relação a
.
Como
Como
segue que
Passo 5
Somando as três derivadas segundas:
Portanto
.
Resposta
A função
é harmônica.