Uma função f=f(x, y, z), de classe C^{2} é dita harmônica se \Delta f=0 (analogamente em \mathbb{R}^{2} ). Verifique se as seguintes funções são harmônicas.
f(x, y, z)=e^{x} \cos y+e^{y} \cos z

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y,z)=e^{x}\cos y \;+\; e^{y}\cos z
é harmônica em \mathbb{R}^3.
Isto significa checar se o Laplaciano \Delta f = f_{xx} + f_{yy} + f_{zz}
é zero.

Passo 2

Calcular a derivada segunda em relação a x.
Primeiro,
\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x}\cos y,
de onde
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = e^{x}\cos y.

Passo 3

Calcular a derivada segunda em relação a y.
Temos
\frac{\partial f}{\partial y} = -\,e^{x}\sin y \;+\; e^{y}\cos z.
Derivando de novo em y,
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -\,e^{x}\cos y \;+\; e^{y}\cos z.

Passo 4

Calcular a derivada segunda em relação a z.
Como
\frac{\partial f}{\partial z} = -\,e^{y}\sin z,
segue que
\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = -\,e^{y}\cos z.

Passo 5

Somando as três derivadas segundas:
f_{xx} + f_{yy} + f_{zz} = \bigl(e^{x}\cos y\bigr) + \bigl(-e^{x}\cos y + e^{y}\cos z\bigr) + \bigl(-e^{y}\cos z\bigr) = 0.
Portanto \Delta f=0.

Resposta

A função f(x,y,z)=e^{x}\cos y + e^{y}\cos z é harmônica.

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