Dadas as Relações definidas em
:
Obter os gráficos cartesianos de
e
.
Passo 1
Beleza, o exercício tá pedindo pra desenhar no plano cartesiano três relações em ℝ:
- 𝓡: todos os pares
com . - 𝓢: todos os pares
com . - 𝓣: todos os pares
com .
Conteúdo: geometria analítica básica (reta, equação de reta, região de inequação). Vamos ter que lembrar como passar da forma geral de uma reta pra um gráfico, e também como esboçar uma desigualdade no plano.
Passo 2
Teoria Rápida – reta no plano:
Uma reta em ℝ² pode vir de uma equação do tipo
Uma reta em ℝ² pode vir de uma equação do tipo
Para desenhar, basta isolar
(se
):
e achar dois pontos (por exemplo, interceptos com os eixos) pra traçar a linha.
Passo 3
Gráfico de
:
Aqui a equação é simplesmente
Aqui a equação é simplesmente
– Teoria:
constante é sempre uma reta horizontal.
– Ponto-chave: ela cruza o eixo em
.
Então, no desenho, é uma linha reta paralela ao eixo , passando por
.
– Ponto-chave: ela cruza o eixo
Então, no desenho, é uma linha reta paralela ao eixo
Passo 4
Gráfico de
:
Equação:
Equação:
– Teoria: forma
, aqui
e
.
– Interceptos:
– Interceptos:
- Com eixo
: ocupa , então → ponto . - Com eixo
: ocupa , então → ponto .
Basta ligara e estender a linha infinita.
Passo 5
Gráfico de
:
Desigualdade:
Desigualdade:
– Teoria: a reta
divide o plano em duas metades (meio-plano).
– Como é “<1”, escolhemos o lado que contém um ponto teste. Ex.: dá
(verdadeiro), então a região abaixo da reta é a solução.
– No desenho, faz-se a reta tracejada (porque não inclui a fronteira) e sombreia a parte abaixo.
– Como é “<1”, escolhemos o lado que contém um ponto teste. Ex.:
– No desenho, faz-se a reta
Resposta
-
: reta horizontal . -
: reta com equação , passando por e . -
: meio-plano aberto definido por , ou seja, a região estritamente abaixo da reta .