Mostre que as integrais a seguir são independentes do caminho e calcule o seu valor.
c.
. [resp.: 32.]
c.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a integral de linha \
$
é independente do caminho e calcular seu valor. O conteúdo aqui é forma diferencial exata, ou seja, precisamos verificar se o campo \n$
é conservativo e então encontrar uma função potencial.
é conservativo e então encontrar uma função potencial.
Passo 2
Para mostrar que o campo é conservativo, comparamos as derivadas parciais: calculamos \n$
e \n$
Como \(\partial P/\partial y) = (\partial Q/\partial x)\ e o domínio é todo \mathbb{R}^{2}\ (que é simplesmente conexo), o campo é conservativo e a integral independe do caminho.
Como \(\partial P/\partial y) = (\partial Q/\partial x)\ e o domínio é todo \mathbb{R}^{2}\ (que é simplesmente conexo), o campo é conservativo e a integral independe do caminho.
Passo 3
Para encontrar a função potencial \n
tal que \n
P = 2x y^{3}$ em relação a \x\:
onde $g(y)\ é uma função de integração que depende só de \y\. Para determinar \g(y)\ usamos a condição \(\partial f/\partial y = Q$:
Daí \g’(y)=0\, logo \g(y)\ é constante. Podemos tomar \g(y)=0\ e ter
Passo 4
Basta agora avaliar \f\ nos pontos inicial e final e subtrair: em \(A=(2,-2)\ temos
e em \(B=(-1,0)\
Logo a integral vale
Resposta
32