Mostre que as integrais a seguir são independentes do caminho e calcule o seu valor.
c. integral(2,-2)^(-1,0) 2 x y^3 d x+3 x^2 y^2 d y. [resp.: 32.]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral de linha \
$ integral(2,-2)^(-1,0) 2x y^3,dx + 3x^2 y^2,dy
é independente do caminho e calcular seu valor. O conteúdo aqui é forma diferencial exata, ou seja, precisamos verificar se o campo \n$ F(x,y) = (P(x,y),Q(x,y)) = l(2x y^3,,3x^2 y^2r)
é conservativo e então encontrar uma função potencial.

Passo 2

Para mostrar que o campo é conservativo, comparamos as derivadas parciais: calculamos \n$ partial Ppartial y = partialpartial y(2x y^3) = 6x y^2,
e \n$ partial Qpartial x = partialpartial x(3x^2 y^2) = 6x y^2
Como \(\partial P/\partial y) = (\partial Q/\partial x)\ e o domínio é todo \mathbb{R}^{2}\ (que é simplesmente conexo), o campo é conservativo e a integral independe do caminho.

Passo 3

Para encontrar a função potencial \n f(x,y) tal que \n nabla f = F,P = 2x y^{3}$ em relação a \x\:
P = 2x y^3
onde $g(y)\ é uma função de integração que depende só de \y\. Para determinar \g(y)\ usamos a condição \(\partial f/\partial y = Q$:
f(x,y) = integral 2x y^3 ,dx = x^2 y^3 + g(y),
Daí \g’(y)=0\, logo \g(y)\ é constante. Podemos tomar \g(y)=0\ e ter
g(y) é uma função de integração que depende só de y Para determinar g(y) usamos a condição (partial f/partial y = Q

Passo 4

Basta agora avaliar \f\ nos pontos inicial e final e subtrair: em \(A=(2,-2)\ temos
f(2,-2) = 2^2cdot(-2)^3 = 4times(-8) = -32,
e em \(B=(-1,0)\
f(-1,0) = (-1)^2cdot0^3 = 0
Logo a integral vale
f(B) - f(A) = 0 - (-32) = 32

Resposta

32

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