(Um princípio de Duhamel). Mostre que a solução do PVIF (30) no caso f(x)=0, pode ser expressa na forma
u(x, t)=integral0^t Phi(x, t ; s) d s
onde Phi é a solução do PVIF
& Phit=k Phix x, 0s, & Phi(0, t ; s)=Phi(L, t ; s)=0, t>s & Phi(x, s ; s)=g(x, s)

Passo 1

Resumindo: queremos resolver o PVIF ut = k,uxx + g(x,t), 00,com condições de contorno u(0,t)=u(L,t)=0 e condição inicial u(x,0)=0. Este é um PDE parabólico linear com termo forçante; vamos aplicar o Princípio de Duhamel.

Passo 2

Definimos Phi(x,t;s) como a solução do PVIF homogêneo para cada instante s:
Phit = k,Phixx, 0s,
com condições de contorno Phi(0,t;s)=Phi(L,t;s)=0 e condição inicial em t=s: Phi(x,s;s)=g(x,s).

Passo 3

Pela linearidade, cada “pulso” g(x,s) aplicado no instante s gera a solução Phi(x,t;s). Somando todas as contribuições de s de 0 até t, propomos
$$
u(x,t) = \int_{0}^{t} \Phi(x,t;s),ds.$$

Passo 4

Verificamos as condições iniciais e de contorno: em t=0 a integral de 0 a 0 é zero, logo u(x,0)=0; e para cada s, Phi(0,t;s)=Phi(L,t;s)=0, então u(0,t)=u(L,t)=0.

Passo 5

Para mostrar que u satisfaz o PDE original, derivamos em t sob o sinal de integral e aplicamos o teorema fundamental do cálculo:
ut = integral0^t Phit(x,t;s),ds + Phi(x,t;t) = k integral0^t Phixx(x,t;s),ds + g(x,t) = k,uxx + g(x,t)
Isso confirma que ut - k,uxx = g(x,t).

Resposta

u(x,t)=\displaystyle\int_{0}^{t} \Phi(x,t;s),ds

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