(Um princípio de Duhamel). Mostre que a solução do PVIF (30) no caso
, pode ser expressa na forma
onde
é a solução do PVIF
Passo 1
Resumindo: queremos resolver o PVIF
com condições de contorno u(0,t)=u(L,t)=0 e condição inicial u(x,0)=0. Este é um PDE parabólico linear com termo forçante; vamos aplicar o Princípio de Duhamel.
Passo 2
Definimos
como a solução do PVIF homogêneo para cada instante
:
com condições de contorno
Passo 3
Pela linearidade, cada “pulso”
aplicado no instante
gera a solução
. Somando todas as contribuições de
de 0 até
, propomos
$$
u(x,t) = \int_{0}^{t} \Phi(x,t;s),ds.$$
Passo 4
Verificamos as condições iniciais e de contorno: em
a integral de 0 a 0 é zero, logo
; e para cada
,
, então
.
Passo 5
Para mostrar que
satisfaz o PDE original, derivamos em
sob o sinal de integral e aplicamos o teorema fundamental do cálculo:
Isso confirma que
.
Resposta
u(x,t)=\displaystyle\int_{0}^{t} \Phi(x,t;s),ds