Uma definição ou caracterização matemática breve para cada uma das outras geometrias (diferentes da euclidiana) citadas no texto. Caso necessário, investigue antes de descrever, mas coloque a referência (do livro ou link) onde leu a respeito.

Passo 1

O pedido é: “Uma definição ou caracterização matemática breve para cada uma das outras geometrias (diferentes da euclidiana) citadas no texto”, e pede também referências. Não foi enviado o texto que cita quais geometrias são essas. Para não travar a resposta, vou assumir que o objetivo é cobrir as geometrias não euclidianas mais comumente mencionadas em cursos e textos: spherical, hyperbolic, elliptic, projective, affine, Riemannian, Lorentzian (Minkowski), Taxicab (Manhattan), Finsler e geometria discreta (em grafos). Vou então dar para cada uma uma caracterização matemática breve, intuitiva e um referencial bibliográfico/link. Se a sua lista do texto for diferente, indique depois (mas não vou pedir isso agora).

Passo 2

Spherical (geometria esférica) — definição/descrição breve e matemática:
  • Ideia essencial: geometrias definidas na superfície de uma esfera de raio R>0, com distância medida ao longo de geodésicas (arcos máximos de círculos grandes).
  • Caracterização matemática: espaço é a 2‑esfera \mathbb{S}^2(R)=\{x\in\mathbb{R}^3:\|x\|=R\} com métrica induzida da métrica euclidiana ambiente. As geodésicas são interseções com planos que passam pela origem (círculos máximos). Curvatura gaussiana K é constante e positiva: K=1/R^2.
  • Consequências típicas: não existe paralela única — duas retas geodésicas (círculos máximos) sempre se encontram em dois pontos antipodais; soma dos ângulos de um triângulo é maior que \pi.
  • Referências: Coxeter, H. S. M., Non‑Euclidean Geometry (capítulos sobre esfera); ou leitura acessível: https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_geometry

Passo 3

Hyperbolic (geometria hiperbólica) — definição/descrição breve e matemática:
  • Ideia essencial: geometria de curvatura constante negativa; a versão “não euclidiana” onde pelo menos duas paralelas distintas passam por um ponto externo a uma reta.
  • Modelos usuais (caracterizações): Poincaré disk model (métrica ds^2=\dfrac{4\,|dz|^2}{(1-|z|^2)^2} no disco unitário \{z\in\mathbb{C}:|z|<1\}); Poincaré half‑plane model (métrica ds^2=\dfrac{dx^2+dy^2}{y^2} para y>0). Em ambos a curvatura gaussiana é constante negativa, tipicamente K=-1.
  • Propriedades: existem infinitas retas paralelas a uma dada reta passando por um ponto externo; soma dos ângulos de um triângulo é menor que \pi.
  • Referências: Anderson, J. W., Hyperbolic Geometry; ou https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry

Passo 4

Elliptic (geometria elíptica) — definição/descrição breve e matemática:
  • Ideia essencial: às vezes usada como sinônimo de “geometria de curvatura positiva sem antipodais distintos”; pode ser vista como a esfera com pontos antipodais identificados.
  • Caracterização matemática: modelo clássico é a 2‑esfera com identificação antipodal: \mathbb{RP}^2 (projeção real do 2‑sistema). Em termos de métricas, é uma variedade de curvatura positiva constante; geodésicas são “linhas” fechadas sem pontos antipodais distintos.
  • Distinção sutil: a esfera \mathbb{S}^2 e a geometria elíptica (às vezes chamada de “spherical elliptic”) diferem pela identificação antipodal; em ambos K>0.
  • Referências: Coxeter; https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_geometry e https://en.wikipedia.org/wiki/Real_projective_plane

Passo 5

Projective (geometria projetiva) — definição/descrição breve e matemática:
  • Ideia essencial: estuda propriedades invariantes por transformações projetivas; introduz pontos no infinito para que retas paralelas se encontrem.
  • Caracterização matemática: espaço projetivo real de dimensão n é \mathbb{RP}^n = (\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\})/\sim com relação de equivalência x\sim \lambda x ( \lambda\neq0). Retas e planos são imagens de subespaços lineares. O grupo de simetrias é PGL(n+1,\mathbb{R}).
  • Propriedades: qualquer par de retas distintas sempre se intersecta em um ponto (possivelmente no infinito); ângulos e comprimentos não são invariantes projetivamente, mas incidência e razão de pontos alinhados são.
  • Referências: Coxeter, Projective Geometry; https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_geometry

Passo 6

Affine (geometria afim) — definição/descrição breve e matemática:
  • Ideia essencial: estudo de propriedades preservadas por transformações afins (combinam linear + translação); preserva paralelismo e barycentros, mas não preserva distâncias ou ângulos.
  • Caracterização matemática: espaço afim de dimensão n é um conjunto A associado a um espaço vetorial V tal que para p,q\in A o vetor \overrightarrow{pq}\in V faz sentido; transformações afins têm forma x\mapsto Ax+b com A\in GL(n,\mathbb{R}), b\in\mathbb{R}^n.
  • Propriedades: paralelismo é preservado; razões ao longo de uma reta são preservadas; não existe origem natural, mas existe estrutura de reta e paralelismo.
  • Referências: Artin (cap. sobre espaços afins) e https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_geometry

Passo 7

Riemannian (geometria riemanniana) — definição/descrição breve e matemática:
  • Ideia essencial: é a teoria das variedades diferenciáveis com uma métrica interna que permite medir comprimentos, ângulos, áreas e curvaturas localmente.
  • Caracterização matemática: um par (M,g) onde M é uma variedade diferenciável e g é um tensor métrico simétrico e definido positivo em cada fibra do fibrado tangente; localmente g dá um produto interno: para vetores u,v\in T_pM escreve‑se g_p(u,v). Distância entre pontos definida por comprimento mínimo de curvas \gamma: \mathrm{length}(\gamma)=\int \sqrt{g_{\gamma(t)}(\dot\gamma,\dot\gamma)}\,dt.
  • Propriedades: curvatura de Riemann, curvatura de Ricci e curvatura escalar medem a geometria local; inclui como casos particulares métricas de curvatura constante (esfera, hiperbólica).
  • Referências: John M. Lee, Riemannian Manifolds; Manfredo do Carmo, Riemannian Geometry; https://en.wikipedia.org/wiki/Riemannian_geometry

Passo 8

Lorentzian / Minkowski (geometria pseudo‑riemanniana usada na Relatividade) — definição/descrição breve e matemática:
  • Ideia essencial: semelhante à Riemannian, mas o tensor métrico tem assinatura não positiva‑definida (por exemplo (- + + +)), permitindo distinguir tipos de vetores (temporal, espacial, nulo).
  • Caracterização matemática: variedade pseudo‑Riemanniana (M,g) com g de assinatura (1,n-1) (ou (-1, n-1)); no caso plano e simples, espaço de Minkowski \mathbb{R}^{1,n-1} com métrica ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + \cdots. Espaços de geodésicas e causalidade são conceitos centrais.
  • Propriedades: distância temporal (intervalo) pode ser zero ou negativo; retas “luminais” (nulas) têm ds^2=0; não se fala em distância positiva definida como em Riemannian.
  • Referências: O’Neill, Semi‑Riemannian Geometry; https://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski_space

Passo 9

Taxicab (geometria do táxi / Manhattan) — definição/descrição breve e matemática:
  • Ideia essencial: métrica alternativa no plano que mede distância pelo caminho em grade ortogonal (útil em problemas discretos e análises normais L^1).
  • Caracterização matemática: no plano \mathbb{R}^2 a distância de dois pontos p=(x_1,y_1) e q=(x_2,y_2) é d_1(p,q)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|. É a norma L^1 no espaço vetorial.
  • Propriedades: bolha unitária é um losango (em vez de círculo), geodésicas não são únicas quando se pode permutar passos; ângulos e curvas usuais mudam de caráter.
  • Referências: matemática recreativa e texto: “Taxicab Geometry” por S. A. Krause; https://en.wikipedia.org/wiki/Taxicab_geometry

Passo 10

Finsler — definição/descrição breve e matemática:
  • Ideia essencial: generalização de Riemannian: em vez de um produto interno em cada fibra tangente, há uma norma F(p,v) que pode ser não quadrática e dependente da direção.
  • Caracterização matemática: uma variedade diferenciável M com uma função F:TM\to[0,\infty) tal que F é suave fora da seção nula, positiva homogênea de grau 1 em v e cuja matriz Hessiana de F^2 em v é definida positiva. Distância é comprimento mínimo \int F(\gamma,\dot\gamma)\,dt.
  • Propriedades: recupera Riemannian se F(p,v)=\sqrt{g_p(v,v)}; em geral, as geodésicas e curvaturas têm comportamento direcional.
  • Referências: Bao, Chern, Shen, An Introduction to Riemann–Finsler Geometry; https://en.wikipedia.org/wiki/Finsler_geometry

Passo 11

Geometria discreta / em grafos — definição/descrição breve e matemática:
  • Ideia essencial: estudar estruturas geométricas quando o espaço é um conjunto discreto (por exemplo vértices de grafo) com métrica de caminho mínimo.
  • Caracterização matemática: para um grafo conexo G=(V,E) define‑se a distância d(u,v) como comprimento do menor caminho (número de arestas ou soma de pesos). Muitas propriedades métricas (bolas, diâmetro, dimensões métricas discretas) estudadas.
  • Propriedades: não há diferencial; métodos combinatórios e algorítmicos predominam; usado em ciência da computação, redes e teoria combinatória.
  • Referências: Bollobás, Modern Graph Theory (capítulos sobre distâncias em grafos); https://en.wikipedia.org/wiki/Graph_metric

Passo 12

Observações finais rápidas (didáticas e para prova):
  • O que difere a maioria dessas geometrias da euclidiana é: a forma como a métrica/definição de reta/geodésica é escolhida e o sinal/valor da curvatura (positiva, negativa, zero) ou a perda da estrutura métrica (projectiva/afim).
  • Em exames, identifique: (i) se existe métrica (Riemannian, Finsler, Minkowski), (ii) o sinal da curvatura (soma dos ângulos em triângulo), (iii) comportamento das paralelas (única, nenhuma, muitas), (iv) grupo de transformações que preserva a estrutura (isometrias, afins, projetivas). Isso normalmente orienta a resposta.

Resposta

Spherical: superfície \mathbb{S}^2(R) com métrica induzida, geodésicas são círculos máximos, curvatura gaussiana K=1/R^2>0; triângulos têm soma de ângulos >\pi.
Hyperbolic: espaço de curvatura constante negativa (por exemplo modelo de Poincaré: ds^2=\dfrac{4|dz|^2}{(1-|z|^2)^2}), infinitas paralelas por ponto externo; soma dos ângulos de triângulos <\pi.
Elliptic: geometria de curvatura positiva com identificação antipodal (esfera mod antipodais, p.ex. \mathbb{RP}^2); geodésicas fechadas e sem paralelas.
Projective: espaço \mathbb{RP}^n=(\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\})/\!\sim com transformações PGL(n+1,\mathbb{R}); retas sempre se intersectam (pontos no infinito).
Affine: espaço afim com transformações x\mapsto Ax+b ( A\in GL(n)), preserva paralelismo e barycentros mas não ângulos/comprimentos.
Riemannian: variedade M com tensor métrico definido‑positivo g; comprimento de curva \int\sqrt{g(\dot\gamma,\dot\gamma)}\,dt, curvatura de Riemann local.
Lorentzian/Minkowski: variedade pseudo‑riemanniana com métrica de assinatura (1,n-1); intervalo ds^2=-c^2dt^2+dx^2+\cdots, causalidade e geodésicas nulas/temporal/espaciais.
Taxicab (Manhattan): métrica L^1 em \mathbb{R}^n; no plano d_1((x_1,y_1),(x_2,y_2))=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|.
Finsler: variedade com norma F(p,v) no tangente (homogênea de grau 1), geral não quadrática; comprimento \int F(\gamma,\dot\gamma)\,dt.
Geometria discreta (grafos): métrica de caminho mínimo em um grafo G, d(u,v)= comprimento do menor caminho entre u e v.
Referências gerais (leitura introdutória / consulta rápida):
  • H. S. M. Coxeter, Non‑Euclidean Geometry.
  • John M. Lee, Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature.
  • O’Neill, B., Semi‑Riemannian Geometry for Relativity.
  • Bao, D., Chern, S.-S., Shen, Z., An Introduction to Riemann–Finsler Geometry.
  • Wikipedia (artigos de referência):
    • https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_geometry
    • https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry
    • https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_geometry
    • https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_geometry
    • https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_geometry
    • https://en.wikipedia.org/wiki/Riemannian_geometry
    • https://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski_space
    • https://en.wikipedia.org/wiki/Taxicab_geometry
    • https://en.wikipedia.org/wiki/Finsler_geometry
    • https://en.wikipedia.org/wiki/Graph_metric

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