Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede que decidamos se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa:
Se
, então
.
Informações dadas:
- Tem-se duas grandezas vetoriais
e . - A hipótese é que
. - A conclusão proposta é que os módulos (normas) desses vetores são iguais:
.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa igualdade de vetores — isso é crucial antes de provar qualquer coisa.
Definição (igualdade de vetores, forma coordenada): Se
e
são vetores em
escritos por coordenadas como
então
significa exatamente que
para todo índice
.
Geometricamente:
significa que os vetores têm mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento (são o mesmo vetor livre).
Passo 3
Agora, o que é o módulo (norma) de um vetor? Vou lembrar a definição usada comumente (norma Euclidiana).
Definição (módulo): O módulo do vetor
é
Aqui
são as componentes do vetor e o resultado é um número real não negativo que mede o comprimento do vetor.
Passo 4
Prova direta usando coordenadas (passo a passo, sem pular etapas).
- Começamos com a hipótese
. Pela definição de igualdade de vetores, isso implica que, para cada ,
- Calculemos
usando a definição da norma:
- Substituindo
em cada termo dentro da raiz, obtemos
- A expressão do lado direito é exatamente a definição de
. Logo
Cada passo é simplesmente substituir componentes iguais; não há operações perigosas nem divisões por zero.
Passo 5
Explicação alternativa curta (intuitiva): a norma é uma função bem-definida que depende apenas do vetor. Se dois vetores são idênticos (mesma flecha), aplicar a função “norma” em ambos necessariamente dá o mesmo resultado. Isso é apenas a ideia de que funções dão o mesmo valor sobre argumentos iguais.
Passo 6
Observação útil para a prova: a afirmação é verdadeira. Mas cuidado — a recíproca NÃO é verdadeira: ter
não garante que
. Vou dar um exemplo simples para fixar essa diferença.
Passo 7
Contraexemplo à recíproca (para aprender a diferença):
Considere em
Considere em
Aqui
e
, então
. Porém
porque as componentes são diferentes (
). Isso mostra que igualdade de módulos não implica igualdade de vetores.
Passo 8
Resumo didático e motivador: Igualdade de vetores é uma condição forte (componentes iguais / mesma flecha). Aplicar a definição da norma a vetores iguais dá imediatamente normas iguais. Então a afirmação é verdadeira — anota aí para a prova e não se esqueça do contraponto (igualdade de normas não garante igualdade de vetores), que é fonte comum de pegadinhas em exercícios. Força aí, você tá indo bem!
Resposta
Verdadeira.