Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
Se \overrightarrow{\mathrm{u}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}, então |\overrightarrow{\mathrm{u}}|=|\overrightarrow{\mathrm{v}}|.

Passo 1

O enunciado pede que decidamos se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa:
Se \vec{u}=\vec{v}, então |\vec{u}|=|\vec{v}|.
Informações dadas:
  • Tem-se duas grandezas vetoriais \vec{u} e \vec{v}.
  • A hipótese é que \vec{u}=\vec{v}.
  • A conclusão proposta é que os módulos (normas) desses vetores são iguais: |\vec{u}|=|\vec{v}|.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa igualdade de vetores — isso é crucial antes de provar qualquer coisa.
Definição (igualdade de vetores, forma coordenada): Se \vec{u} e \vec{v} são vetores em \mathbb{R}^n escritos por coordenadas como
\vec{u}=(u_1,u_2,\dots,u_n), \qquad \vec{v}=(v_1,v_2,\dots,v_n),
então \vec{u}=\vec{v} significa exatamente que u_i=v_i para todo índice i=1,\dots,n.
Geometricamente: \vec{u}=\vec{v} significa que os vetores têm mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento (são o mesmo vetor livre).

Passo 3

Agora, o que é o módulo (norma) de um vetor? Vou lembrar a definição usada comumente (norma Euclidiana).
Definição (módulo): O módulo do vetor \vec{u}=(u_1,\dots,u_n) é
|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+\cdots+u_n^2}.
Aqui u_i são as componentes do vetor e o resultado é um número real não negativo que mede o comprimento do vetor.

Passo 4

Prova direta usando coordenadas (passo a passo, sem pular etapas).
  1. Começamos com a hipótese \vec{u}=\vec{v}. Pela definição de igualdade de vetores, isso implica que, para cada i,
u_i=v_i.
  1. Calculemos |\vec{u}| usando a definição da norma:
|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+\cdots+u_n^2}.
  1. Substituindo u_i=v_i em cada termo dentro da raiz, obtemos
|\vec{u}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots+v_n^2}.
  1. A expressão do lado direito é exatamente a definição de |\vec{v}|. Logo
|\vec{u}|=|\vec{v}|.
Cada passo é simplesmente substituir componentes iguais; não há operações perigosas nem divisões por zero.

Passo 5

Explicação alternativa curta (intuitiva): a norma é uma função bem-definida que depende apenas do vetor. Se dois vetores são idênticos (mesma flecha), aplicar a função “norma” em ambos necessariamente dá o mesmo resultado. Isso é apenas a ideia de que funções dão o mesmo valor sobre argumentos iguais.

Passo 6

Observação útil para a prova: a afirmação é verdadeira. Mas cuidado — a recíproca NÃO é verdadeira: ter |\vec{u}|=|\vec{v}| não garante que \vec{u}=\vec{v}. Vou dar um exemplo simples para fixar essa diferença.

Passo 7

Contraexemplo à recíproca (para aprender a diferença):
Considere em \mathbb{R}^2
\vec{u}=(1,0), \qquad \vec{v}=(-1,0).
Aqui |\vec{u}|=\sqrt{1^2+0^2}=1 e |\vec{v}|=\sqrt{(-1)^2+0^2}=1, então |\vec{u}|=|\vec{v}|. Porém \vec{u}\neq\vec{v} porque as componentes são diferentes ( 1\neq -1). Isso mostra que igualdade de módulos não implica igualdade de vetores.

Passo 8

Resumo didático e motivador: Igualdade de vetores é uma condição forte (componentes iguais / mesma flecha). Aplicar a definição da norma a vetores iguais dá imediatamente normas iguais. Então a afirmação é verdadeira — anota aí para a prova e não se esqueça do contraponto (igualdade de normas não garante igualdade de vetores), que é fonte comum de pegadinhas em exercícios. Força aí, você tá indo bem!

Resposta

Verdadeira.

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