Determine, em cada caso, a matriz X :
X=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 5 \\\\ -1 & 7 & 2\end{array}\right]^{t}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a matriz X definida como o transposto de uma matriz dada. A matriz fornecida é
A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 5 \\[4pt] -1 & 7 & 2\end{array}\right],
e deseja-se calcular X=A^{t}.
Informações relevantes que temos:
  • A matriz A tem 2 linhas e 3 colunas (é uma matriz 2\times3).
  • Os elementos de A são, linha a linha: 1,2,5 na primeira linha e -1,7,2 na segunda linha.
  • A operação pedida é a transposição: formar A^{t}.]

Passo 2

Definição e ideia do que é transpor uma matriz (explicação didática).
  • A transposta de uma matriz troca linhas por colunas. Ou seja, a primeira linha de A vira a primeira coluna de A^{t}; a segunda linha de A vira a segunda coluna de A^{t}; e assim por diante.
  • Em termos de índices: se A=(a_{ij}), então A^{t}=(b_{ij}) com
b_{ij}=a_{ji},
para todos os índices válidos i,j.
  • Dimensionalmente: se A é m\times n, então A^{t} será n\times m. Aqui A é 2\times3, então A^{t} será 3\times2.

Passo 3

Escrever A identificando formalmente os elementos por índices, para aplicar a regra:
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\\\ -1 & 7 & 2 \end{pmatrix}.
Logo:
a_{11}=1,\quad a_{12}=2,\quad a_{13}=5,
a_{21}=-1,\quad a_{22}=7,\quad a_{23}=2.

Passo 4

Aplicar a regra da transposta entrada a entrada: (A^{t})_{ij}=a_{ji}.
Calcular cada elemento de X=A^{t}:
  • Primeira linha de A^{t}: (A^{t})_{11}=a_{11}=1,\qquad (A^{t})_{12}=a_{21}=-1.
  • Segunda linha de A^{t}: (A^{t})_{21}=a_{12}=2,\qquad (A^{t})_{22}=a_{22}=7.
  • Terceira linha de A^{t}: (A^{t})_{31}=a_{13}=5,\qquad (A^{t})_{32}=a_{23}=2.

Passo 5

Reunir os elementos na forma matricial. Como A^{t} é 3\times2, escrevemos:
X=A^{t}= \begin{pmatrix} 1 & -1 \\\\ 2 & 7 \\\\ 5 & 2 \end{pmatrix}.

Resposta

X=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 2 & 7 \\[4pt] 5 & 2\end{pmatrix}]

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