Seja
uma curva regular, parametrizada por comprimento de arco, cujas curvatura e torção são constantes não nulas. Prove que existem uma hélice circular
e um movimento rígido
tais que
.
Passo 1
O enunciado dá uma curva regular
parametrizada por comprimento de arco (ou seja, unit-speed) e com curvatura e torção constantes não nulas. Preciso provar que existe uma hélice circular padrão
e um movimento rígido
tais que
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
é unit-speed, isto é é o versor tangente. - A curvatura
de é constante e . - A torção
de é constante e . - Objetivo final: exibir
(em função de ) e um movimento rígido tal que a composição da hélice padrão com dá .
Passo 2
Vou recordar e usar as definições e as equações de Frenet (explicando bem cada símbolo).
Definições (para curva unit-speed):
onde
e
são constantes. Explico:
mede o quanto a curva “vira” no plano normal;
mede o quanto o binormal muda, isto é a torção da curva no espaço.]
Passo 3
Mostro que existe um vetor fixo
relacionado a
.
Considere o vetor
Vamos derivá-lo e ver que é constante:
Logo
, isto é,
é independente de
: existe um vetor constante
tal que
para todo
.
Defina o versor unitário
Assim
é um vetor fixo (independente de
) e unitário. Interpretação geométrica: existe uma direcção fixa no espaço que combina a tangente e o binormal — isso já sugere que a tangente faz um ângulo constante com uma direção fixa, característica de uma hélice.
Passo 4
Mostro que o ângulo entre
e
é constante (ou seja,
faz sempre o mesmo ângulo com uma direção fixa).
Calcule o produto escalar
Como
e
temos
. Assim
Portanto a tangente faz sempre o mesmo ângulo com a direção fixa
: é a definição de uma hélice (ou helix) — o vetor tangente tem inclinação constante em relação ao eixo
.
Passo 5
Agora descrevo a decomposição de
ao longo de
e no plano ortogonal a
. Defina a coordenada axial
Derivando,
Logo
é função afim de
:
para alguma constante
. Ou seja, a componente de
ao longo de
cresce linearmente com
: isto dá a subida uniforme da hélice.
Defina a projeção ortogonal no plano perpendicular a
:
Então
para todo
. Vamos estudar
e
.
Passo 6
Calcule
e seu módulo:
Como
e
, obtemos
Portanto
Isto diz que a velocidade de
no plano perpendicular a
é constante.
Agora a segunda derivada:
Note que
também é constante. Para uma curva plana que tem velocidade constante e aceleração de módulo constante apontando sempre para o centro, isso caracteriza um movimento circular uniforme. Mais precisamente, para uma circunferência de raio
percorrida a velocidade constante
temos aceleração normal de módulo
. Aqui
e a aceleração normal tem módulo
. Igualando:
Portanto
descreve uma circunferência de raio
A velocidade angular (frequência angular) dessa circunferência é
Assim, no plano ortogonal a
,
gira com velocidade angular
numa circunferência de raio
, enquanto a coordenada axial
cresce linearmente. Isso é exatamente o comportamento de uma hélice circular.
Passo 7
Agora relaciono esses parâmetros com a hélice padrão
do enunciado e encontro
e
.
Da análise anterior já obtivemos
A componente axial cresce com velocidade
. Para parear com a forma dada em
note que, definindo
temos a identidade útil
Logo
Com isso a expressão paramétrica canônica da hélice com raio
e “passo” proporcional a
é exatamente
que é unit-speed (verificação rápida: derivando e somando quadrados obtém-se 1) e tem curvatura e torção
Substituindo
e
verifica-se (calcular diretamente as razões) que
e
. (Explicação curta: com
tem-se
e
.)
Pelo Teorema fundamental das curvas espaciais: uma curva unit-speed é determinada, a menos de um movimento rígido, pelas suas funções curvatura e torção. Assim, dado que
e
são unit-speed e têm as mesmas curvatura e torção constantes
, existe um movimento rígido
tal que
. Construtivamente,
é a rotação/traslação que envia o eixo unitário
de
na direção
do modelo e alinha as fases angulares iniciais e a origem de parâmetros; explicitamente pode-se tomar
como a rotação que manda
em
e, em seguida, a translação que manda um ponto inicial de
no ponto
.
Passo 8
Resumo dos valores e da construção explícita:
- Escolher
curvatura e torção de . - Definir
- Definir
conforme enunciado com esses . Verificar que é unit-speed e que , . - Pelo teorema fundamental das curvas (ou pela construção direta usando o vetor fixo
e correspondência das projeções circulares), existe um movimento rígido tal que .
Resposta
Existem
dados por
e
, a hélice
e um movimento rígido
tais que
.