Seja \alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva regular, parametrizada por comprimento de arco, cujas curvatura e torção são constantes não nulas. Prove que existem uma hélice circular \beta: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \beta(s)=\left(a \cos \left(\frac{s}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right), a \operatorname{sen}\left(\frac{s}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right), \frac{b s}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right), a, b \neq 0 e um movimento rígido \varphi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tais que \alpha=\varphi \circ \beta.

Passo 1

O enunciado dá uma curva regular \alpha:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 parametrizada por comprimento de arco (ou seja, unit-speed) e com curvatura e torção constantes não nulas. Preciso provar que existe uma hélice circular padrão
\beta(s)=\Bigl(a\cos\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\bigr),\;a\sin\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\bigr),\;\tfrac{b s}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\Bigr), \qquad a,b\neq 0,
e um movimento rígido \varphi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 tais que \alpha=\varphi\circ\beta.
Informações relevantes fornecidas:
  • \alpha é unit-speed, isto é \alpha'(s)=T(s) é o versor tangente.
  • A curvatura \kappa de \alpha é constante e \kappa\neq 0.
  • A torção \tau de \alpha é constante e \tau\neq 0.
  • Objetivo final: exibir a,b (em função de \kappa,\tau) e um movimento rígido \varphi tal que a composição da hélice padrão \beta com \varphi \alpha.

Passo 2

Vou recordar e usar as definições e as equações de Frenet (explicando bem cada símbolo).
Definições (para curva unit-speed):
  • T(s)=\alpha'(s)\) é o vetor tangente unitário. - A curvatura é \(\kappa(s)=\|T'(s)\|\). Aqui \(\kappa(s)=\kappa>0\) constante. - O versor normal principal é \(N(s)=\dfrac{T'(s)}{\kappa}\). - O versor binormal é \(B(s)=T(s)\times N(s)\). As derivadas dos vetores de Frenet satisfazem as equações de Frenet–Serret: \[\begin{cases} T'(s)=\kappa N(s),\\[4pt] N'(s)=-\kappa T(s)+\tau B(s),\\[4pt] B'(s)=-\tau N(s), \end{cases}
onde \tau\] é a torção. Aqui \(\kappa e \tau são constantes. Explico: \kappa mede o quanto a curva “vira” no plano normal; \tau mede o quanto o binormal muda, isto é a torção da curva no espaço.]

Passo 3

Mostro que existe um vetor fixo u\in\mathbb{R}^3 relacionado a T,B.
Considere o vetor
V(s)=\tau T(s)+\kappa B(s).
Vamos derivá-lo e ver que é constante:
V'(s)=\tau T'(s)+\kappa B'(s) =\tau(\kappa N(s))+\kappa(-\tau N(s))=0.
Logo V'(s)=0, isto é, V(s) é independente de s: existe um vetor constante V tal que V(s)=V para todo s.
Defina o versor unitário
u=\frac{V}{\|V\|}=\frac{\tau T+\kappa B}{\sqrt{\kappa^{2}+\tau^{2}}}.
Assim u é um vetor fixo (independente de s) e unitário. Interpretação geométrica: existe uma direcção fixa no espaço que combina a tangente e o binormal — isso já sugere que a tangente faz um ângulo constante com uma direção fixa, característica de uma hélice.

Passo 4

Mostro que o ângulo entre T(s) e u é constante (ou seja, T faz sempre o mesmo ângulo com uma direção fixa).
Calcule o produto escalar
T(s)\cdot u = T\cdot\frac{\tau T+\kappa B}{\sqrt{\kappa^{2}+\tau^{2}}} =\frac{\tau\|T\|^{2}+\kappa\,T\cdot B}{\sqrt{\kappa^{2}+\tau^{2}}}.
Como \|T\|=1 e T\perp B temos T\cdot B=0. Assim
T(s)\cdot u=\frac{\tau}{\sqrt{\kappa^{2}+\tau^{2}}}=\text{constante}.
Portanto a tangente faz sempre o mesmo ângulo com a direção fixa u: é a definição de uma hélice (ou helix) — o vetor tangente tem inclinação constante em relação ao eixo u.

Passo 5

Agora descrevo a decomposição de \alpha(s) ao longo de u e no plano ortogonal a u. Defina a coordenada axial
z(s)=\alpha(s)\cdot u.
Derivando,
z'(s)=\alpha'(s)\cdot u=T(s)\cdot u=\frac{\tau}{\sqrt{\kappa^{2}+\tau^{2}}}=\text{constante}.
Logo z(s) é função afim de s:
z(s)=\frac{\tau}{\sqrt{\kappa^{2}+\tau^{2}}}\,s + c
para alguma constante c. Ou seja, a componente de \alpha ao longo de u cresce linearmente com s: isto dá a subida uniforme da hélice.
Defina a projeção ortogonal no plano perpendicular a u:
p(s)=\alpha(s)-z(s)u.
Então p(s)\cdot u=0 para todo s. Vamos estudar p'(s) e p''(s).

Passo 6

Calcule p'(s) e seu módulo:
p'(s)=\alpha'(s)-z'(s)u=T(s)-\frac{\tau}{\sqrt{\kappa^{2}+\tau^{2}}}\,u.
Como \|T\|=1 e T\cdot u=\dfrac{\tau}{\sqrt{\kappa^{2}+\tau^{2}}}, obtemos
\|p'(s)\|^{2}=\|T\|^{2}- (T\cdot u)^{2} =1-\frac{\tau^{2}}{\kappa^{2}+\tau^{2}} =\frac{\kappa^{2}}{\kappa^{2}+\tau^{2}}.
Portanto
\|p'(s)\|=\frac{\kappa}{\sqrt{\kappa^{2}+\tau^{2}}}=\text{constante}.
Isto diz que a velocidade de \,p(s)\, no plano perpendicular a u é constante.
Agora a segunda derivada:
p''(s)=T'(s)-0=\kappa N(s).
Note que \|p''(s)\|=\kappa também é constante. Para uma curva plana que tem velocidade constante e aceleração de módulo constante apontando sempre para o centro, isso caracteriza um movimento circular uniforme. Mais precisamente, para uma circunferência de raio R percorrida a velocidade constante v temos aceleração normal de módulo v^{2}/R. Aqui v=\|p'(s)\|=\dfrac{\kappa}{\sqrt{\kappa^{2}+\tau^{2}}} e a aceleração normal tem módulo \kappa. Igualando:
\frac{v^{2}}{R}=\kappa \quad\Rightarrow\quad R=\frac{v^{2}}{\kappa} =\frac{\kappa^{2}/(\kappa^{2}+\tau^{2})}{\kappa} =\frac{\kappa}{\kappa^{2}+\tau^{2}}.
Portanto p(s) descreve uma circunferência de raio
a:=\frac{\kappa}{\kappa^{2}+\tau^{2}}.
A velocidade angular (frequência angular) dessa circunferência é
\omega=\frac{v}{R} =\frac{\kappa/\sqrt{\kappa^{2}+\tau^{2}}}{\kappa/(\kappa^{2}+\tau^{2})} =\sqrt{\kappa^{2}+\tau^{2}}.
Assim, no plano ortogonal a u, p(s) gira com velocidade angular \omega=\sqrt{\kappa^{2}+\tau^{2}} numa circunferência de raio a, enquanto a coordenada axial z(s) cresce linearmente. Isso é exatamente o comportamento de uma hélice circular.

Passo 7

Agora relaciono esses parâmetros com a hélice padrão \beta do enunciado e encontro a e b.
Da análise anterior já obtivemos
a=\frac{\kappa}{\kappa^{2}+\tau^{2}}.
A componente axial cresce com velocidade z'(s)=\dfrac{\tau}{\sqrt{\kappa^{2}+\tau^{2}}}. Para parear com a forma dada em \beta note que, definindo
b:=\frac{\tau}{\kappa^{2}+\tau^{2}},
temos a identidade útil
a^{2}+b^{2}=\frac{\kappa^{2}+\tau^{2}}{(\kappa^{2}+\tau^{2})^{2}}=\frac{1}{\kappa^{2}+\tau^{2}}.
Logo
\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\frac{1}{\sqrt{\kappa^{2}+\tau^{2}}} \quad\text{e}\quad \frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\sqrt{\kappa^{2}+\tau^{2}}=\omega.
Com isso a expressão paramétrica canônica da hélice com raio a e “passo” proporcional a b é exatamente
\beta(s)=\Bigl(a\cos\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\bigr),\; a\sin\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\bigr),\; \tfrac{b s}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\Bigr),
que é unit-speed (verificação rápida: derivando e somando quadrados obtém-se 1) e tem curvatura e torção
\kappa_\beta=\frac{a}{a^{2}+b^{2}},\qquad \tau_\beta=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}.
Substituindo a=\dfrac{\kappa}{\kappa^{2}+\tau^{2}} e b=\dfrac{\tau}{\kappa^{2}+\tau^{2}} verifica-se (calcular diretamente as razões) que \kappa_\beta=\kappa e \tau_\beta=\tau. (Explicação curta: com D=\kappa^{2}+\tau^{2} tem-se a/(a^{2}+b^{2})=\kappa e b/(a^{2}+b^{2})=\tau.)
Pelo Teorema fundamental das curvas espaciais: uma curva unit-speed é determinada, a menos de um movimento rígido, pelas suas funções curvatura e torção. Assim, dado que \alpha e \beta são unit-speed e têm as mesmas curvatura e torção constantes \kappa,\tau, existe um movimento rígido \varphi tal que \alpha=\varphi\circ\beta. Construtivamente, \varphi é a rotação/traslação que envia o eixo unitário u de \alpha na direção e_{3} do modelo e alinha as fases angulares iniciais e a origem de parâmetros; explicitamente pode-se tomar \varphi como a rotação que manda u em e_{3} e, em seguida, a translação que manda um ponto inicial de \beta no ponto \alpha(0).

Passo 8

Resumo dos valores e da construção explícita:
  • Escolher \kappa,\tau curvatura e torção de \alpha.
  • Definir
a=\frac{\kappa}{\kappa^{2}+\tau^{2}},\qquad b=\frac{\tau}{\kappa^{2}+\tau^{2}}.
  • Definir \beta conforme enunciado com esses a,b. Verificar que \beta é unit-speed e que \kappa_\beta=\kappa, \tau_\beta=\tau.
  • Pelo teorema fundamental das curvas (ou pela construção direta usando o vetor fixo u e correspondência das projeções circulares), existe um movimento rígido \varphi tal que \alpha=\varphi\circ\beta.

Resposta

Existem a,b\neq0 dados por a=\dfrac{\kappa}{\kappa^{2}+\tau^{2}} e b=\dfrac{\tau}{\kappa^{2}+\tau^{2}}, a hélice
\beta(s)=\Bigl(a\cos\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\bigr),\;a\sin\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\bigr),\;\tfrac{b s}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\Bigr)
e um movimento rígido \varphi:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} tais que \alpha=\varphi\circ\beta.

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