Definição 1. Uma curva regular
é uma hélice se existe vetor unitário
que forma um ângulo constante com
.
40. Seja
uma curva regular de curvatura e torção não nulas. Mostre que
é uma hélice se, e somente se,
é constante.
40. Seja
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (resumido, claro e sem resolver ainda):
- Foi dada uma curva regular
cuja curvatura e torsão são não nulas em todo . - Precisa-se mostrar a equivalência:
-
é uma hélice (isto é, existe vetor unitário tal que o ângulo entre e é constante para todo ) - se, e somente se,
é constante ao longo da curva.
-
Informações relevantes explicitadas:
- Podemos (e vamos) parametrizar
por comprimento de arco , de modo que é o vetor tangente unitário. - Como
e são não nulas, o triêto de Frenet está bem definido e as fórmulas de Frenet-Serret valem para todo .
Passo 2
Ferramentas e fórmulas que vamos usar (explicadas):
- Parametrização por comprimento de arco: escolher
Explicação curta: essas equações dizem como os vetores do repère de Frenet mudam ao longo da curva;
mede quanto ele “torce” (variação do plano osculador, ligada à derivada do binormal).]
Passo 3
Provar: se
é hélice então
é constante.
- Hipótese: existe vetor unitário constante
e um ângulo tal que o ângulo entre e é para todo . Isso significa que a projeção escalar é constante:
- Diferenciando em
(lembrando é constante):
- Usando
obtemos
Como
por hipótese, segue
- Conclusão intermediária:
é ortogonal a para todo . Portanto pertence ao plano gerado por e . Assim existe escalars (dependendo possivelmente de ) tais que
- Determinar
e : pelo produto escalar com e ,
Logo
. Vamos mostrar
também. Diferenciando
temos
Pela fórmula de Frenet,
. Como
, segue
. Assim
é também constante. Portanto
e
são constantes e podemos escrever
com
constantes.
- Agora derivar
e igualar a zero (já que é constante):
Como
, obtemos para todo
que é uma razão de duas constantes, logo
é constante. Isso completa a primeira metade da equivalência.
Passo 4
Provar: se
é constante então
é hélice.
- Hipótese: existe
tal que
(Observação:
garante que isso é bem definido.)
- Vamos construir explicitamente um vetor constante
que mantém ângulo constante com . Tome constantes e tais que . Por exemplo escolha
assim
tem norma
para qualquer
(porque
e
são ortonormais e
); portanto
é unitário (independente de
).
- Derivar
em :
- Usando
e obtemos
logo
. Assim
é um vetor constante em
.
- Finalmente,
é constante (igual a no nosso escolha), portanto o ângulo entre e é constante. Isso mostra que é uma hélice.
Passo 5
Recapitulando de forma bem direta e incentivadora:
- Mostrei que, ao parametrizar por comprimento de arco e usar o repère de Frenet, a existência de um vetor unitário constante
que mantém ângulo fixo com leva a escrever com constantes e daí a relação , ou seja constante. - No sentido contrário, se
é constante posso escolher constantes satisfazendo em todo ponto; então é um vetor unitário constante e faz ângulo constante com , portanto é hélice.
Pronto — equivalência demonstrada. Força aí, você já domina esse clássico das curvas em espaço!