Definição 1. Uma curva regular \alpha: I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3} é uma hélice se existe vetor unitário \nu que forma um ângulo constante com \alpha^{\prime}(t), \forall t \in I.
40. Seja \alpha uma curva regular de curvatura e torção não nulas. Mostre que \alpha é uma hélice se, e somente se, \frac{\kappa}{\tau} é constante.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumido, claro e sem resolver ainda):
  • Foi dada uma curva regular \alpha:I\to\mathbb{R}^3 cuja curvatura \kappa e torsão \tau são não nulas em todo I.
  • Precisa-se mostrar a equivalência:
    • \alpha é uma hélice (isto é, existe vetor unitário \nu tal que o ângulo entre \nu e \alpha'(t) é constante para todo t)
    • se, e somente se, \dfrac{\kappa}{\tau} é constante ao longo da curva.
Informações relevantes explicitadas:
  • Podemos (e vamos) parametrizar \alpha por comprimento de arco s, de modo que T(s)=\alpha'(s) é o vetor tangente unitário.
  • Como \kappa e \tau são não nulas, o triêto de Frenet (T,N,B) está bem definido e as fórmulas de Frenet-Serret valem para todo s.

Passo 2

Ferramentas e fórmulas que vamos usar (explicadas):
  • Parametrização por comprimento de arco: escolher s\) tal que \(\|\alpha'(s)\|=1\). Assim \(T(s)=\alpha'(s)\). - Definições: - \(T(s)\) é o vetor tangente unitário. - \(N(s)\) é o vetor normal principal (unitário) e aponta na direção de \(T'(s)\). - \(B(s)=T(s)\times N(s)\) é o binormal unitário. - \(\kappa(s)\) é a curvatura, dada por \(\kappa(s)=\|T'(s)\|\). - \(\tau(s)\) é a torsão, aparecendo nas fórmulas de Frenet. - Fórmulas de Frenet-Serret (para curva unit-speed): \[\begin{cases} T'(s)=\kappa(s)\,N(s),\\[4pt] N'(s)=-\kappa(s)\,T(s)+\tau(s)\,B(s),\\[4pt] B'(s)=-\tau(s)\,N(s). \end{cases}
Explicação curta: essas equações dizem como os vetores do repère de Frenet mudam ao longo da curva; \kappa\] mede quanto o ramo se curva (mudança do tangente na direção normal) e \(\tau mede quanto ele “torce” (variação do plano osculador, ligada à derivada do binormal).]

Passo 3

Provar: se \alpha é hélice então \dfrac{\kappa}{\tau} é constante.
  • Hipótese: existe vetor unitário constante \nu\in\mathbb{R}^3 e um ângulo \theta tal que o ângulo entre \nu e T(s) é \theta para todo s. Isso significa que a projeção escalar é constante:
\nu\cdot T(s)=\cos\theta=\text{conste.}
  • Diferenciando em s (lembrando \nu é constante):
\frac{d}{ds}\bigl(\nu\cdot T(s)\bigr)=\nu\cdot T'(s)=0.
  • Usando T'(s)=\kappa(s)N(s) obtemos
\nu\cdot\bigl(\kappa(s)N(s)\bigr)=0\quad\Rightarrow\quad \kappa(s)\,\bigl(\nu\cdot N(s)\bigr)=0.
Como \kappa(s)\neq 0 por hipótese, segue
\nu\cdot N(s)=0\quad\text{para todo }s.
  • Conclusão intermediária: \nu é ortogonal a N(s) para todo s. Portanto \nu pertence ao plano gerado por T(s) e B(s). Assim existe escalars (dependendo possivelmente de s) a(s),b(s) tais que
\nu = a(s)\,T(s)+b(s)\,B(s).
  • Determinar a(s) e b(s): pelo produto escalar com T e B,
a(s)=\nu\cdot T(s)=\cos\theta\quad(\text{constante}),\qquad b(s)=\nu\cdot B(s).
Logo a'(s)=0. Vamos mostrar b'(s)=0 também. Diferenciando b(s)=\nu\cdot B(s) temos
b'(s)=\nu\cdot B'(s).
Pela fórmula de Frenet, B'(s)=-\tau(s)N(s). Como \nu\cdot N(s)=0, segue b'(s)=0. Assim b(s) é também constante. Portanto a e b são constantes e podemos escrever \nu=aT+bB com a,b constantes.
  • Agora derivar \nu e igualar a zero (já que \nu é constante):
0=\nu' = a\,T'(s)+b\,B'(s) = a\,\kappa(s)N(s)+b\bigl(-\tau(s)N(s)\bigr) = \bigl(a\kappa(s)-b\tau(s)\bigr)N(s).
Como N(s)\neq 0, obtemos para todo s
a\kappa(s)-b\tau(s)=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{\kappa(s)}{\tau(s)}=\frac{b}{a},
que é uma razão de duas constantes, logo \dfrac{\kappa}{\tau} é constante. Isso completa a primeira metade da equivalência.

Passo 4

Provar: se \dfrac{\kappa}{\tau} é constante então \alpha é hélice.
  • Hipótese: existe \lambda\in\mathbb{R} tal que
\frac{\kappa(s)}{\tau(s)}=\lambda\quad\text{para todo }s.
(Observação: \tau(s)\neq0 garante que isso é bem definido.)
  • Vamos construir explicitamente um vetor constante \nu que mantém ângulo constante com T(s). Tome constantes a e b tais que b=a\lambda. Por exemplo escolha
a=\frac{1}{\sqrt{1+\lambda^{2}}},\qquad b=\frac{\lambda}{\sqrt{1+\lambda^{2}}},
assim \nu:=aT(s)+bB(s) tem norma 1 para qualquer s (porque T e B são ortonormais e a^{2}+b^{2}=1); portanto \nu é unitário (independente de s).
  • Derivar \nu em s:
\nu' = a\,T'(s)+b\,B'(s) = a\kappa(s)N(s)+b\bigl(-\tau(s)N(s)\bigr) = \bigl(a\kappa(s)-b\tau(s)\bigr)N(s).
  • Usando \kappa(s)=\lambda\,\tau(s) e b=a\lambda obtemos
a\kappa(s)-b\tau(s)=a(\lambda\tau(s))-a\lambda\tau(s)=0,
logo \nu'=0. Assim \nu é um vetor constante em \mathbb{R}^3.
  • Finalmente, \nu\cdot T(s)=a é constante (igual a 1/\sqrt{1+\lambda^{2}} no nosso escolha), portanto o ângulo entre \nu e T(s) é constante. Isso mostra que \alpha é uma hélice.

Passo 5

Recapitulando de forma bem direta e incentivadora:
  • Mostrei que, ao parametrizar por comprimento de arco e usar o repère de Frenet, a existência de um vetor unitário constante \nu que mantém ângulo fixo com T leva a escrever \nu=aT+bB com a,b constantes e daí a relação a\kappa-b\tau=0, ou seja \kappa/\tau constante.
  • No sentido contrário, se \kappa/\tau é constante posso escolher constantes a,b satisfazendo a\kappa-b\tau=0 em todo ponto; então \nu=aT+bB é um vetor unitário constante e faz ângulo constante com T, portanto \alpha é hélice.
Pronto — equivalência demonstrada. Força aí, você já domina esse clássico das curvas em espaço!

Resposta

\alpha é hélice se, e somente se, \dfrac{\kappa}{\tau} é constante.

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