Seja \alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva regular não necessariamente p.p.c.a. Definimos a curva \beta(t)=\alpha(t)-s(t) \frac{\alpha^{\prime}(t)}{\left|\alpha^{\prime}(t)\right|}, onde s(t) é a função comprimento do arco de \alpha. Esta curva se chama de evolvente da curva \alpha. Calcule a evolvente da circunferência de raio um centrada na origem.
Passo 1
O enunciado dá:
Uma curva regular \alpha:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3.
A evolvente (involuta) é definida por \displaystyle \beta(t)=\alpha(t)-s(t)\frac{\alpha'(t)}{\left|\alpha'(t)\right|}, onde s(t) é a função comprimento de arco da curva \alpha.
A tarefa: calcular explicitamente a evolvente da circunferência de raio 1 centrada na origem. Ou seja, tomar uma parametrização conveniente dessa circunferência e aplicar a fórmula acima para obter \beta(t).
Passo 2
Escolher uma parametrização da circunferência de raio 1 no plano (embutida em \mathbb{R}^3). Uma escolha natural é a parametrização pelo ângulo:
\alpha(t)=\bigl(\cos t,\\ \sin t,\\\ 0\bigr).
Aqui t\in\mathbb{R} é o parâmetro angular. Vou explicar o que cada termo significa: \alpha(t) é o vetor posição do ponto na circunferência quando o ângulo mede t radianos, a coordenada z é zero porque a circunferência está no plano xy.
Passo 3
Calcular a derivada \alpha'(t) e sua norma \left|\alpha'(t)\right|.
É comum escolher t_0=0 (começar a medir o arco em t=0), daí
s(t)=t.
Obs.: se alguém escolhesse outro t_0, a evolvente sofreria uma simples alteração por uma constante; aqui usamos t_0=0 para simplificar.
Passo 5
Aplicar a fórmula da evolvente \displaystyle \beta(t)=\alpha(t)-s(t)\frac{\alpha'(t)}{\left|\alpha'(t)\right|}. Como \left|\alpha'(t)\right|=1 e s(t)=t, fica
Isto mostra uma propriedade geométrica interessante: o vetor tangente a \beta em t é paralelo ao vetor posição \alpha(t) da circunferência (ou seja, paralelo ao raio naquele ângulo). Também confirma que o cálculo está coerente.
Passo 7
Resumo prático: tomando a circunferência unidade \alpha(t)=\bigl(\cos t,\sin t,0\bigr) e escolhendo a função arco s(t)=t (medida a partir de t=0), a evolvente/involuta é a curva dada em coordenadas pelo par ordenado abaixo. (Se s(t)=t-t_0 fosse usado, substituir t por t-t_0 no resultado correspondente.)