Seja \alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva regular não necessariamente p.p.c.a. Definimos a curva \beta(t)=\alpha(t)-s(t) \frac{\alpha^{\prime}(t)}{\left|\alpha^{\prime}(t)\right|}, onde s(t) é a função comprimento do arco de \alpha. Esta curva se chama de evolvente da curva \alpha. Calcule a evolvente da circunferência de raio um centrada na origem.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Uma curva regular \alpha:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3.
  • A evolvente (involuta) é definida por \displaystyle \beta(t)=\alpha(t)-s(t)\frac{\alpha'(t)}{\left|\alpha'(t)\right|}, onde s(t) é a função comprimento de arco da curva \alpha.
    A tarefa: calcular explicitamente a evolvente da circunferência de raio 1 centrada na origem. Ou seja, tomar uma parametrização conveniente dessa circunferência e aplicar a fórmula acima para obter \beta(t).

Passo 2

Escolher uma parametrização da circunferência de raio 1 no plano (embutida em \mathbb{R}^3). Uma escolha natural é a parametrização pelo ângulo:
\alpha(t)=\bigl(\cos t,\\ \sin t,\\\ 0\bigr).
Aqui t\in\mathbb{R} é o parâmetro angular. Vou explicar o que cada termo significa: \alpha(t) é o vetor posição do ponto na circunferência quando o ângulo mede t radianos, a coordenada z é zero porque a circunferência está no plano xy.

Passo 3

Calcular a derivada \alpha'(t) e sua norma \left|\alpha'(t)\right|.
\alpha'(t)=\bigl(-\sin t,\\ \cos t,\\\ 0\bigr).
A norma é
\left|\alpha'(t)\right|=\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2+0^2}=\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t}=1.
Portanto a parametrização escolhida é de velocidade unitária: o comprimento do arco cresce exatamente com o parâmetro t.

Passo 4

Determinar a função comprimento de arco s(t). Por definição, tomando um ponto de referência t_0 e medindo o arco a partir dele,
s(t)=\int_{t_0}^{t}\left|\alpha'(u)\right|\,du=\int_{t_0}^{t}1\,du = t-t_0.
É comum escolher t_0=0 (começar a medir o arco em t=0), daí
s(t)=t.
Obs.: se alguém escolhesse outro t_0, a evolvente sofreria uma simples alteração por uma constante; aqui usamos t_0=0 para simplificar.

Passo 5

Aplicar a fórmula da evolvente \displaystyle \beta(t)=\alpha(t)-s(t)\frac{\alpha'(t)}{\left|\alpha'(t)\right|}. Como \left|\alpha'(t)\right|=1 e s(t)=t, fica
\beta(t)=\alpha(t)-t\,\alpha'(t).
Agora calcular componente a componente:
\beta(t)=\bigl(\cos t,\\ \sin t,\\\ 0\bigr)-t\bigl(-\sin t,\\ \cos t,\\\ 0\bigr).
Portanto
\beta(t)=\bigl(\cos t+t\sin t,\\ \sin t-t\cos t,\\\ 0\bigr).

Passo 6

Fazer um pequeno cheque e interpretar: derivando \beta(t) obtemos
\beta'(t)=\bigl(-\sin t+\sin t+t\cos t,\\ \cos t-\cos t+t\sin t,\\\ 0\bigr)=\bigl(t\cos t,\\ t\sin t,\\\ 0\bigr).
Ou seja,
\beta'(t)=t\bigl(\cos t,\\ \sin t,\\\ 0\bigr)=t\,\alpha(t).
Isto mostra uma propriedade geométrica interessante: o vetor tangente a \beta em t é paralelo ao vetor posição \alpha(t) da circunferência (ou seja, paralelo ao raio naquele ângulo). Também confirma que o cálculo está coerente.

Passo 7

Resumo prático: tomando a circunferência unidade \alpha(t)=\bigl(\cos t,\sin t,0\bigr) e escolhendo a função arco s(t)=t (medida a partir de t=0), a evolvente/involuta é a curva dada em coordenadas pelo par ordenado abaixo. (Se s(t)=t-t_0 fosse usado, substituir t por t-t_0 no resultado correspondente.)

Resposta

\displaystyle \beta(t)=\bigl(\cos t+t\sin t,\\ \sin t-t\cos t,\\\ 0\bigr)

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