1. Uma dívida de \ 5.000 pode ser quitada, com uma taxa de juros de8 %$ aa, segundo o esquema a seguir:
Final do Ano Pagamento ($)
1 500
2 1.000
3 1.500
4 2.000
5 X

Qual o valor de X?

Passo 1

O enunciado dá uma dívida inicial de \$5000 e um esquema de pagamentos no final de cada ano, com taxa de juros de 8\% ao ano. Os pagamentos são:
  • Ano 1: \$500
  • Ano 2: \$1000
  • Ano 3: \$1500
  • Ano 4: \$2000
  • Ano 5: \$X (valor a determinar)
O que o problema pede: encontrar o valor de X de modo que o valor presente (no início, tempo 0) de todos esses pagamentos seja igual a \$5000.

Passo 2

Conceito-chave (explicado devagarinho): desconto de um pagamento futuro para o presente. Se uma quantia \$A é paga no final do ano k, o seu valor presente (no tempo 0) é
\text{PV}=\frac{A}{(1+i)^k},
onde i é a taxa de juros anual (no nosso caso i=0,08). Isso vem da ideia de que (1+i)^k é o fator que transforma um valor presente num valor acumulado após k anos; para voltar usamos o inverso.
Para simplificar a notação, defino o fator de desconto
v=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1{,}08}.
Repare que 1{,}08=\dfrac{27}{25}, então
v=\frac{25}{27},
e assim v^k=(25/27)^k. Usar a fração exata ajuda a manter precisão.

Passo 3

Vamos calcular o valor presente de cada pagamento (mostrar passo a passo para você poder repetir na prova).
Pagamento do ano 1: \$500 tem PV
500\cdot v = 500\cdot\frac{25}{27}=\frac{12500}{27}\approx 462{,}9629629.
Pagamento do ano 2: \$1000 tem PV
1000\cdot v^2 = 1000\cdot\left(\frac{25}{27}\right)^2 = 1000\cdot\frac{625}{729}=\frac{625000}{729}\approx 857{,}3388203.
Pagamento do ano 3: \$1500 tem PV
1500\cdot v^3 = 1500\cdot\left(\frac{25}{27}\right)^3 = 1500\cdot\frac{15625}{19683}=\frac{23437500}{19683}\approx 1190{,}7483616.
Pagamento do ano 4: \$2000 tem PV
2000\cdot v^4 = 2000\cdot\left(\frac{25}{27}\right)^4 = 2000\cdot\frac{390625}{531441}=\frac{781250000}{531441}\approx 1470{,}0585624.
Observação pedagógica: cada PV foi obtido dividindo o pagamento por (1{,}08)^k ou multiplicando por v^k. Estou mostrando a forma de fração exata e a aproximação decimal (para trabalhar com centavos).

Passo 4

Somando os valores presentes dos quatro primeiros pagamentos:
\begin{aligned} S &= 500v + 1000v^2 + 1500v^3 + 2000v^4 \\\ &= \frac{12500}{27}+\frac{625000}{729}+\frac{23437500}{19683}+\frac{781250000}{531441} \\\ &\approx 462{,}9629629 + 857{,}3388203 + 1190{,}7483616 + 1470{,}0585624 \\\ &\approx 3981{,}1087073. \end{aligned}
Interpretação rápida: os quatro pagamentos já valem hoje aproximadamente \$3981{,}11. Para quitar a dívida total de \$5000, falta um valor presente de
5000 - S \approx 5000 - 3981{,}1087073 \approx 1018{,}8912927.
Esse é o valor presente da parcela X que será paga no ano 5.

Passo 5

Agora convertemos esse valor presente restante em quanto é pago no ano 5. Se X é pago no final do ano 5, seu valor presente é X\cdot v^5. Logo
X\cdot v^5 = 5000 - S.
Isolando X,
X = \frac{5000 - S}{v^5}.
Como v^5=(25/27)^5 e (1{,}08)^5=(27/25)^5, uma forma prática é multiplicar pelo fator acumulado:
X = (5000 - S)\cdot(1{,}08)^5.

Passo 6

Calcule numericamente:
v^5=\left(\frac{25}{27}\right)^5\approx 0{,}6805835852,
portanto
X \approx \frac{1018{,}8912927}{0{,}6805835852}\approx 1497{,}083904.
Arredondando para centavos (valor monetário):
X \approx \$1497{,}08.
Checagem rápida (opcional): descontando \$1497{,}08 ao final do ano 5 usa-se v^5 e obtém-se aproximadamente 1018{,}8913; somando com S volta-se a \$5000 (pequenas diferenças vêm de arredondamento).

Resposta

\$1497{,}08

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