- Uma dívida de
5.000
8 %$ aa, segundo o esquema a seguir:
Final do Ano
Pagamento ($)
1
500
2
1.000
3
1.500
4
2.000
5
X
Qual o valor de X?
| Final do Ano | Pagamento ($) |
| 1 | 500 |
| 2 | 1.000 |
| 3 | 1.500 |
| 4 | 2.000 |
| 5 | X |
Passo 1
O enunciado dá uma dívida inicial de
e um esquema de pagamentos no final de cada ano, com taxa de juros de
ao ano. Os pagamentos são:
- Ano 1:
- Ano 2:
- Ano 3:
- Ano 4:
- Ano 5:
(valor a determinar)
O que o problema pede: encontrar o valor de
de modo que o valor presente (no início, tempo 0) de todos esses pagamentos seja igual a
.
Passo 2
Conceito-chave (explicado devagarinho): desconto de um pagamento futuro para o presente. Se uma quantia
é paga no final do ano
, o seu valor presente (no tempo 0) é
onde
é a taxa de juros anual (no nosso caso
). Isso vem da ideia de que
é o fator que transforma um valor presente num valor acumulado após
anos; para voltar usamos o inverso.
Para simplificar a notação, defino o fator de desconto
Repare que
, então
e assim
. Usar a fração exata ajuda a manter precisão.
Passo 3
Vamos calcular o valor presente de cada pagamento (mostrar passo a passo para você poder repetir na prova).
Pagamento do ano 1:
tem PV
Pagamento do ano 2:
tem PV
Pagamento do ano 3:
tem PV
Pagamento do ano 4:
tem PV
Observação pedagógica: cada PV foi obtido dividindo o pagamento por
ou multiplicando por
. Estou mostrando a forma de fração exata e a aproximação decimal (para trabalhar com centavos).
Passo 4
Somando os valores presentes dos quatro primeiros pagamentos:
Interpretação rápida: os quatro pagamentos já valem hoje aproximadamente
. Para quitar a dívida total de
, falta um valor presente de
Esse é o valor presente da parcela
que será paga no ano 5.
Passo 5
Agora convertemos esse valor presente restante em quanto é pago no ano 5. Se
é pago no final do ano 5, seu valor presente é
. Logo
Isolando
,
Como
e
, uma forma prática é multiplicar pelo fator acumulado:
Passo 6
Calcule numericamente:
portanto
Arredondando para centavos (valor monetário):
Checagem rápida (opcional): descontando
ao final do ano 5 usa-se
e obtém-se aproximadamente
; somando com
volta-se a
(pequenas diferenças vêm de arredondamento).