Definição 1.7 (Equação Geral). Uma cônica é o conjunto dos pontos (
) que satisfazem uma equação do segundo grau:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação geral de uma cônica:
onde
são constantes (pelo menos uma entre
é não nula).
O que vamos responder / explicar ao longo da resolução (tudo retirado da própria equação acima):
O que vamos responder / explicar ao longo da resolução (tudo retirado da própria equação acima):
- Como identificar qual tipo de cônica a equação representa (elipse, parábola, hipérbole ou caso especial: circunferência).
- Como eliminar o termo misto
(quando ) usando rotação de eixos e qual é o ângulo dessa rotação. - Como encontrar o centro (quando houver), e como reduzir a equação — por translação e/ou rotação — à forma canônica (padrão) para reconhecer parametrizações e dimensões.
- Dar exemplos passo a passo (com contas explícitas) mostrando a técnica de completar quadrados e como ler os parâmetros (raios/semieixos, focos, vértices) na forma canônica.
Passo 2
Critério rápido de classificação com o discriminante.
Defina o discriminante associado aos coeficientes quadráticos:
Defina o discriminante associado aos coeficientes quadráticos:
Explicação didática do que isso significa (sem provas longas): este discriminante é um invariante que decide a “natureza” da forma quadrática
quando se permite rotacionar o sistema de coordenadas. O sinal de
dá a classificação:
- Se
, a cônica é uma elipse (ou uma circunferência se, além disso, e ). - Se
, a cônica é uma parábola. - Se
, a cônica é uma hipérbole.
Por que esse critério funciona (intuição): após uma rotação apropriada dos eixos, pode-se eliminar o termo
e a expressão quadrática fica da forma
. O sinal relativo de
e
(ambos mesmo sinal, sinais opostos ou um zero) determina elipse, hipérbole ou parábola — e o discriminante
é exatamente o determinante que muda conforme esses sinais. Não precisa memorizar provas longas agora, basta lembrar a regra do sinal de
.
Passo 3
Como eliminar o termo misto
Ao substituir na parte quadrática
obtemos (apenas o resultado que é o que se usa na prova)
Queremos esse coeficiente igual a zero, então:
Isto é equivalente a
desde que
. Essa é a fórmula prática: escolher
tal que
. Se
e
, então a escolha conveniente é
(porque então
é infinito e o raciocínio acima encaixa).
Observações úteis de prova/uso:
- Após essa rotação, a equação fica sem termo misto:
. - Agora procede-se tratando
como se fossem coordenadas “normais”: completa-se quadrados e, se necessário, faz-se uma translação para encontrar o centro.]
Passo 4
Como encontrar o centro de uma cônica (quando existe) por sistema linear.
Se a equação não tem termo misto (ou já foi rotacionada para tal), e se a cônica for central (elipse ou hipérbole), existe um ponto
Calculando as derivadas:
Resolver esse sistema linear dá o centro ((x_0,y_0)]. Nota prática: o sistema tem solução única quando a matriz
é invertível — isso ocorre para elipses e hipérboles típicas; para parábolas a matriz é singular (e aí não existe centro único porque parábolas não têm centro).
é invertível — isso ocorre para elipses e hipérboles típicas; para parábolas a matriz é singular (e aí não existe centro único porque parábolas não têm centro).
Exemplo rápido (contas explícitas):
Dada a equação (exemplo)
Dada a equação (exemplo)
o sistema para o centro é
Resolva: da segunda,
. Da primeira,
. Subtraindo:
. Então
. Logo o centro seria
. (Este é um exemplo ilustrativo; na prática, se a matriz for singular a cônica é parábola.)]
Passo 5
Como reduzir à forma canônica por completar quadrados (após eliminar
- Encontre o centro (se existir) resolvendo
onde
,
para colocar o centro na origem; ao substituir e simplificar, a equação fica sem termos lineares:
- Coloque em forma canônica dividindo por
ou outro sinal apropriado. Exemplos de formas canônicas:
- Elipse (centro na origem):
com
.
- Hipérbole (centro na origem):
- Parábola (após rotação e uma translação):
ou alguma versão equivalente (uma variável ao quadrado, a outra linear).
6. Leia parâmetros: para elipse, e
são semi-eixos; para hipérbole,
e
determinam assíntotas
após alinhamento; para parábola,
é a distância do vértice ao foco.
6. Leia parâmetros: para elipse,
Exemplo completo (elipse simples, sem termo misto):
Considere
Considere
Agrupe e complete quadrados:
Complete quadrado para
:
Para
:
Substitua:
Expanda consts:
Some constantes:
. Então
isole o lado com 1:
Aqui
,
. Assim é uma elipse centrada em
.]
Passo 6
Casos especiais importantes e dicas de prova:
- Circunferência: ocorre quando
e . A equação reduz a
e completa-se quadrados simultaneamente em
e
para achar centro e raio.
- Parábola: o discriminante
. Não existe centro; após possível rotação (se ) fica uma equação com só um quadrado ( ou ) e termo linear na outra variável. - Sempre, antes de completar quadrados, prefira eliminar o termo misto; caso contrário os termos cruzados atrapalham a leitura.
- Se precisar comparar com gráfico rapidamente na prova: calcule
, calcule o centro (se existir), determine se os coeficientes quadráticos têm sinais iguais (elipse), sinais opostos (hipérbole) ou um zero efetivo (parábola).
Passo 7
Resumo prático de “receita de 5 passos” para colocar em prova (decorável e rápido):
- Calcule
. - Se
, calcule com e rotacione para eliminar . - Encontre o centro (resolvendo o sistema de derivadas) e faça a translação.
- Complete quadrados, isole e divida para obter forma canônica.
- Identifique tipo (elipse/hipérbole/parábola) e parâmetros (raios, semi-eixos,
, assíntotas).
Resposta
Se
então é elipse (se
e
é circunferência).
Se então é parábola.
Se então é hipérbole.
Ângulo de rotação para eliminar :
.
Centro (quando existe) resolve
Se
Se
Ângulo de rotação para eliminar
Centro (quando existe) resolve