Definição 1.7 (Equação Geral). Uma cônica é o conjunto dos pontos ( x, y ) que satisfazem uma equação do segundo grau:
A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação geral de uma cônica:
A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0,
onde A,B,C,D,E,F são constantes (pelo menos uma entre A,B,C é não nula).
O que vamos responder / explicar ao longo da resolução (tudo retirado da própria equação acima):
  • Como identificar qual tipo de cônica a equação representa (elipse, parábola, hipérbole ou caso especial: circunferência).
  • Como eliminar o termo misto xy (quando B\neq0) usando rotação de eixos e qual é o ângulo dessa rotação.
  • Como encontrar o centro (quando houver), e como reduzir a equação — por translação e/ou rotação — à forma canônica (padrão) para reconhecer parametrizações e dimensões.
  • Dar exemplos passo a passo (com contas explícitas) mostrando a técnica de completar quadrados e como ler os parâmetros (raios/semieixos, focos, vértices) na forma canônica.

Passo 2

Critério rápido de classificação com o discriminante.
Defina o discriminante associado aos coeficientes quadráticos:
\Delta = B^{2}-4AC.
Explicação didática do que isso significa (sem provas longas): este discriminante é um invariante que decide a “natureza” da forma quadrática A x^{2}+B x y+C y^{2} quando se permite rotacionar o sistema de coordenadas. O sinal de \Delta dá a classificação:
  • Se \Delta<0, a cônica é uma elipse (ou uma circunferência se, além disso, A=C e B=0).
  • Se \Delta=0, a cônica é uma parábola.
  • Se \Delta>0, a cônica é uma hipérbole.
Por que esse critério funciona (intuição): após uma rotação apropriada dos eixos, pode-se eliminar o termo xy e a expressão quadrática fica da forma \tilde A x'^2+\tilde C y'^2. O sinal relativo de \tilde A e \tilde C (ambos mesmo sinal, sinais opostos ou um zero) determina elipse, hipérbole ou parábola — e o discriminante \Delta é exatamente o determinante que muda conforme esses sinais. Não precisa memorizar provas longas agora, basta lembrar a regra do sinal de \Delta.

Passo 3

Como eliminar o termo misto xy\) por rotação (caso \(B\neq0\)). Fórmula e derivação prática. Queremos nova base \((x',y')\) girada em relação a \((x,y)\) por um ângulo \(\theta\) tal que o termo \(x'y'\) desapareça. Use a substituição de rotação: \[\begin{cases} x = x'\cos\theta - y'\sin\theta,\\[4pt] y = x'\sin\theta + y'\cos\theta . \end{cases}
Ao substituir na parte quadrática A x^{2}+B x y+C y^{2}\] e coletar o coeficiente de \(x'y' obtemos (apenas o resultado que é o que se usa na prova)
\text{coeficiente de }x'y' = (A-C)\sin 2\theta + B\cos 2\theta.
Queremos esse coeficiente igual a zero, então:
(A-C)\sin 2\theta + B\cos 2\theta = 0.
Isto é equivalente a
\tan 2\theta = \dfrac{B}{A-C},
desde que A\neq C. Essa é a fórmula prática: escolher \theta tal que \tan 2\theta = \dfrac{B}{A-C}. Se A=C e B\neq0, então a escolha conveniente é \theta=\dfrac{\pi}{4} (porque então \tan 2\theta é infinito e o raciocínio acima encaixa).
Observações úteis de prova/uso:
  • Após essa rotação, a equação fica sem termo misto: \tilde A x'^2 + \tilde C y'^2 + \tilde D x' + \tilde E y' + \tilde F = 0.
  • Agora procede-se tratando (x',y') como se fossem coordenadas “normais”: completa-se quadrados e, se necessário, faz-se uma translação para encontrar o centro.]

Passo 4

Como encontrar o centro de uma cônica (quando existe) por sistema linear.
Se a equação não tem termo misto (ou já foi rotacionada para tal), e se a cônica for central (elipse ou hipérbole), existe um ponto (x_0,y_0)\) tal que traduzindo as coordenadas para esse ponto a equação perde os termos lineares. Esse centro é dado resolvendo o sistema formado pelas derivadas parciais da parte quadrática-linear igualadas a zero: \[\begin{cases} \dfrac{\partial}{\partial x}\big(Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F\big)=0,\\[6pt] \dfrac{\partial}{\partial y}\big(Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F\big)=0. \end{cases}
Calculando as derivadas:
\begin{cases} 2Ax + By + D = 0,\\[4pt] Bx + 2Cy + E = 0. \end{cases}
Resolver esse sistema linear dá o centro ((x_0,y_0)]. Nota prática: o sistema tem solução única quando a matriz
\begin{pmatrix}2A & B\\[4pt] B & 2C\end{pmatrix}
é invertível — isso ocorre para elipses e hipérboles típicas; para parábolas a matriz é singular (e aí não existe centro único porque parábolas não têm centro).
Exemplo rápido (contas explícitas):
Dada a equação (exemplo)
3x^{2}+2xy+ y^{2}-6x+4y+1=0,
o sistema para o centro é
\begin{cases} 6x + 2y -6 =0,\\[4pt] 2x + 2y +4 =0. \end{cases}
Resolva: da segunda, 2x+2y=-4\Rightarrow x+y=-2. Da primeira, 6x+2y=6\Rightarrow 3x+y=3. Subtraindo: (3x+y)-(x+y)=2x=5\Rightarrow x=\tfrac{5}{2}. Então y=-2-x=-2-\tfrac{5}{2}=-\tfrac{9}{2}. Logo o centro seria \big(\tfrac{5}{2},-\tfrac{9}{2}\big). (Este é um exemplo ilustrativo; na prática, se a matriz for singular a cônica é parábola.)]

Passo 5

Como reduzir à forma canônica por completar quadrados (após eliminar xy\) e localizar o centro). Procedimento passo a passo (o que fazer na prova e como executar as contas sem calculadora): 1. Se \(B\neq0\), calcule \(\theta\) com \(\tan 2\theta=\dfrac{B}{A-C}\) e faça a rotação \(x,y\mapsto x',y'\) para eliminar o termo \(x'y'\). 2. Escreva a equação na forma \[\tilde A x'^{2} + \tilde C y'^{2} + \tilde D x' + \tilde E y' + \tilde F = 0.
  1. Encontre o centro (se existir) resolvendo
\begin{cases} 2\tilde A x' + \tilde B' y' + \tilde D =0,\\[4pt] \tilde B' x' + 2\tilde C y' + \tilde E =0, \end{cases}
onde \tilde B'=0\] porque já eliminou-se o termo misto. Simplifica para: \[\begin{cases} 2\tilde A x' + \tilde D =0,\\[4pt] 2\tilde C y' + \tilde E =0. \end{cases}\] 4. Faça a translação \(x''=x'-x'_0, y''=y'-y'_0 para colocar o centro na origem; ao substituir e simplificar, a equação fica sem termos lineares:
\tilde A x''^{2} + \tilde C y''^{2} + \tilde F' =0.
  1. Coloque em forma canônica dividindo por -\tilde F' ou outro sinal apropriado. Exemplos de formas canônicas:
  • Elipse (centro na origem):
\dfrac{x''^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y''^{2}}{b^{2}} = 1,
com a,b>0.
  • Hipérbole (centro na origem):
\dfrac{x''^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y''^{2}}{b^{2}} = 1 \quad\text{ou}\quad -\dfrac{x''^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y''^{2}}{b^{2}} = 1.
  • Parábola (após rotação e uma translação):
y''^{2} = 4p x'' \quad\text{ou}\quad x''^{2} = 4p y'',
ou alguma versão equivalente (uma variável ao quadrado, a outra linear).
6. Leia parâmetros: para elipse, a e b são semi-eixos; para hipérbole, a e b determinam assíntotas y=\pm (b/a)x após alinhamento; para parábola, p é a distância do vértice ao foco.
Exemplo completo (elipse simples, sem termo misto):
Considere
3x^{2} -12x + 2y^{2} +8y -11 = 0.
Agrupe e complete quadrados:
3(x^{2}-4x) + 2(y^{2}+4y) -11 = 0.
Complete quadrado para x:
x^{2}-4x = (x-2)^{2} - 4.
Para y:
y^{2}+4y = (y+2)^{2} -4.
Substitua:
3\big((x-2)^{2}-4\big) + 2\big((y+2)^{2}-4\big) -11 = 0.
Expanda consts:
3(x-2)^{2} -12 + 2(y+2)^{2} -8 -11 =0.
Some constantes: -12-8-11=-31. Então
3(x-2)^{2} + 2(y+2)^{2} -31 =0,
isole o lado com 1:
\frac{(x-2)^{2}}{31/3} + \frac{(y+2)^{2}}{31/2} = 1.
Aqui a^{2}=31/3, b^{2}=31/2. Assim é uma elipse centrada em (2,-2).]

Passo 6

Casos especiais importantes e dicas de prova:
  • Circunferência: ocorre quando A=C e B=0. A equação reduz a
A(x^{2}+y^{2})+Dx+Ey+F=0,
e completa-se quadrados simultaneamente em x e y para achar centro e raio.
  • Parábola: o discriminante \Delta=0. Não existe centro; após possível rotação (se B\neq0) fica uma equação com só um quadrado ( x''^{2} ou y''^{2}) e termo linear na outra variável.
  • Sempre, antes de completar quadrados, prefira eliminar o termo misto; caso contrário os termos cruzados atrapalham a leitura.
  • Se precisar comparar com gráfico rapidamente na prova: calcule \Delta, calcule o centro (se existir), determine se os coeficientes quadráticos têm sinais iguais (elipse), sinais opostos (hipérbole) ou um zero efetivo (parábola).

Passo 7

Resumo prático de “receita de 5 passos” para colocar em prova (decorável e rápido):
  1. Calcule \Delta=B^{2}-4AC.
  2. Se B\neq0, calcule \theta com \tan 2\theta=\dfrac{B}{A-C} e rotacione para eliminar xy.
  3. Encontre o centro (resolvendo o sistema de derivadas) e faça a translação.
  4. Complete quadrados, isole e divida para obter forma canônica.
  5. Identifique tipo (elipse/hipérbole/parábola) e parâmetros (raios, semi-eixos, p, assíntotas).

Resposta

Se \Delta=B^{2}-4AC<0 então é elipse (se A=C e B=0 é circunferência).
Se \Delta=0 então é parábola.
Se \Delta>0 então é hipérbole.
Ângulo de rotação para eliminar xy: \tan 2\theta=\dfrac{B}{A-C}.
Centro (quando existe) resolve
\begin{cases} 2Ax + By + D = 0,\\[4pt] Bx + 2Cy + E = 0. \end{cases}

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