1.1 Elipse
Definição 1.1 (Elipse). Dados num plano
dois pontos fixos
(chamados focos) distantes
entre si, e um número real
, define-se a elipse como o conjunto de todos os pontos
tais que:
Onde
é o comprimento do eixo maior.
Note que da desigualdade triangular
temos a seguinte restrição
Observação 1.1. A constante
representa o comprimento do eixo maior da elipse. A relação fundamental entre os parâmetros da elipse é:
onde
é o semi-eixo menor.
Observação 1.2. Quando a distância focal é zero (
), temos que
e
coincidem. Neste caso, A elipse torna-se uma circunferência, e a relação fundamental
implica
.
Note que da desigualdade triangular
Observação 1.2. Quando a distância focal é zero (
Passo 1
O enunciado dá a definição da elipse: dois focos
e
separados por distância
e um número
tal que a elipse é o conjunto dos pontos
que satisfazem
As perguntas implícitas (o que vamos provar/derivar) são:
- Obter a equação cartesiana canónica da elipse colocada convenientemente no plano.
- Mostrar a relação fundamental entre os parâmetros:
. - Verificar o caso degenerado
(quando a elipse vira círculo).
Lista das informações dadas que vamos usar:
- Distância entre os focos:
com . - Soma das distâncias do ponto
aos focos é (então ).
Passo 2
Escolha de coordenadas (por simetria): coloque os focos no eixo
com o ponto médio na origem. Assim
Seja
um ponto genérico da elipse. As distâncias de
aos focos são
A condição da elipse é
Passo 3
Vamos eliminar as raízes passo a passo. Chame
Temos
. Isole
:
Eleve ao quadrado ambos os lados (explicação rápida: é uma técnica padrão para eliminar raízes; quando elevamos ao quadrado, devemos ficar atentos a possíveis soluções extranhas, mas aqui as quantidades são não negativas e mantêm-se corretas):
Substituindo
e
obtemos
Cancele
dos dois lados e simplifique:
Calcule a diferença
. Reescrevendo para isolar
:
Passo 4
Agora elevamos ao quadrado novamente para eliminar a raiz que ainda está em
. Lembrando
, temos
Expanda ambos os lados cuidadosamente. Primeiro o lado esquerdo:
Lado direito:
Igualando e cancelando o termo
comum em ambos os lados:
Passo 5
Coloque todos os termos com
juntos e os restantes do outro lado. Subtraia
e também subtraia
:
Factorize o termo em
:
Note que
. Agora definimos o parâmetro
pelo
que é justamente o semi-eixo menor (essa definição surge naturalmente da álgebra). Substituindo:
Multiplique por
(assumindo
; o caso
corresponde à elipse degenerada segmento) e reescreva:
Esta é a equação canónica da elipse centrada na origem com eixo maior sobre o eixo
, semi-eixo maior
e semi-eixo menor
.
Passo 6
Interpretações e verificação da relação fundamental. Da definição
obtemos imediatamente a relação pedida:
Uma verificação geométrica simples: tomar o ponto de coordenadas
(o extremo do semi-eixo menor). Distância de
a cada foco é
, logo a soma é
. Para que isso seja
é preciso
, isto é
— corresponde ao que obtivemos algébrica e explica fisicamente a relação.
Passo 7
Caso degenerado
. Se
então
. Da relação
vem
, ou seja
. A equação da elipse passa a ser
que é equivalente a
uma circunferência de raio
. Portanto a elipse com focos coincidentes é exatamente um círculo.