1.1 Elipse
Definição 1.1 (Elipse). Dados num plano \pi dois pontos fixos F_{1} e F_{2} (chamados focos) distantes 2 c \geq 0 entre si, e um número real a \geq 0, define-se a elipse como o conjunto de todos os pontos P \in \pi tais que:
d\left(P, F_{1}\right)+d\left(P, F_{2}\right)=2 a
Onde 2 a é o comprimento do eixo maior.
Note que da desigualdade triangular
d\left(F_{1}, F_{2}\right) \leq d\left(P, F_{1}\right)+d\left(P, F_{2}\right)
temos a seguinte restrição
c \leq a \text {. }
Observação 1.1. A constante 2 a representa o comprimento do eixo maior da elipse. A relação fundamental entre os parâmetros da elipse é:
a^{2}=b^{2}+c^{2}
onde b é o semi-eixo menor.
Observação 1.2. Quando a distância focal é zero ( c=0 ), temos que F_{1} e F_{2} coincidem. Neste caso, A elipse torna-se uma circunferência, e a relação fundamental a^{2}=b^{2}+c^{2} implica a=b.

Passo 1

O enunciado dá a definição da elipse: dois focos F_{1} e F_{2} separados por distância 2c e um número a tal que a elipse é o conjunto dos pontos P que satisfazem
d(P,F_{1})+d(P,F_{2})=2a.
As perguntas implícitas (o que vamos provar/derivar) são:
  • Obter a equação cartesiana canónica da elipse colocada convenientemente no plano.
  • Mostrar a relação fundamental entre os parâmetros: a^{2}=b^{2}+c^{2}.
  • Verificar o caso degenerado c=0 (quando a elipse vira círculo).
Lista das informações dadas que vamos usar:
  • Distância entre os focos: d(F_{1},F_{2})=2c com c\ge 0.
  • Soma das distâncias do ponto P aos focos é 2a (então c\le a).

Passo 2

Escolha de coordenadas (por simetria): coloque os focos no eixo x com o ponto médio na origem. Assim
F_{1}=(-c,0),\qquad F_{2}=(c,0).
Seja P=(x,y) um ponto genérico da elipse. As distâncias de P aos focos são
d(P,F_{1})=\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}},\qquad d(P,F_{2})=\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}.
A condição da elipse é
\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a.

Passo 3

Vamos eliminar as raízes passo a passo. Chame
S_{1}=\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}},\qquad S_{2}=\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}.
Temos S_{1}+S_{2}=2a. Isole S_{1}:
S_{1}=2a-S_{2}.
Eleve ao quadrado ambos os lados (explicação rápida: é uma técnica padrão para eliminar raízes; quando elevamos ao quadrado, devemos ficar atentos a possíveis soluções extranhas, mas aqui as quantidades são não negativas e mantêm-se corretas):
S_{1}^{2}=(2a-S_{2})^{2}.
Substituindo S_{1}^{2}=(x+c)^{2}+y^{2} e S_{2}^{2}=(x-c)^{2}+y^{2} obtemos
(x+c)^{2}+y^{2}=4a^{2}-4aS_{2}+(x-c)^{2}+y^{2}.
Cancele y^{2} dos dois lados e simplifique:
(x+c)^{2} = 4a^{2}-4aS_{2}+(x-c)^{2}.
Calcule a diferença (x-c)^{2}-(x+c)^{2}=-4cx. Reescrevendo para isolar S_{2}:
4aS_{2}=4a^{2}-4cx \quad\Rightarrow\quad S_{2}=a-\frac{c x}{a}.

Passo 4

Agora elevamos ao quadrado novamente para eliminar a raiz que ainda está em S_{2}. Lembrando S_{2}^{2}=(x-c)^{2}+y^{2}, temos
(x-c)^{2}+y^{2}=\left(a-\frac{c x}{a}\right)^{2}.
Expanda ambos os lados cuidadosamente. Primeiro o lado esquerdo:
(x-c)^{2}+y^{2}=x^{2}-2cx+c^{2}+y^{2}.
Lado direito:
\left(a-\frac{c x}{a}\right)^{2}=a^{2}-2c x+\frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}}.
Igualando e cancelando o termo -2cx comum em ambos os lados:
x^{2}+c^{2}+y^{2}=a^{2}+\frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}}.

Passo 5

Coloque todos os termos com x^{2} juntos e os restantes do outro lado. Subtraia \dfrac{c^{2}x^{2}}{a^{2}} e também subtraia a^{2}:
x^{2}-\frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}}+y^{2}+c^{2}-a^{2}=0.
Factorize o termo em x^{2}:
x^{2}\!\left(1-\frac{c^{2}}{a^{2}}\right)+y^{2}+(c^{2}-a^{2})=0.
Note que 1-\dfrac{c^{2}}{a^{2}}=\dfrac{a^{2}-c^{2}}{a^{2}}. Agora definimos o parâmetro b pelo
b^{2}=a^{2}-c^{2},
que é justamente o semi-eixo menor (essa definição surge naturalmente da álgebra). Substituindo:
x^{2}\frac{b^{2}}{a^{2}}+y^{2}-b^{2}=0.
Multiplique por \dfrac{1}{b^{2}} (assumindo b>0; o caso b=0 corresponde à elipse degenerada segmento) e reescreva:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
Esta é a equação canónica da elipse centrada na origem com eixo maior sobre o eixo x, semi-eixo maior a e semi-eixo menor b.

Passo 6

Interpretações e verificação da relação fundamental. Da definição b^{2}=a^{2}-c^{2} obtemos imediatamente a relação pedida:
a^{2}=b^{2}+c^{2}.
Uma verificação geométrica simples: tomar o ponto de coordenadas (0,b) (o extremo do semi-eixo menor). Distância de (0,b) a cada foco é \sqrt{c^{2}+b^{2}}, logo a soma é 2\sqrt{c^{2}+b^{2}}. Para que isso seja 2a é preciso \sqrt{c^{2}+b^{2}}=a, isto é a^{2}=b^{2}+c^{2} — corresponde ao que obtivemos algébrica e explica fisicamente a relação.

Passo 7

Caso degenerado c=0. Se c=0 então F_{1}=F_{2}=(0,0). Da relação b^{2}=a^{2}-c^{2} vem b^{2}=a^{2}, ou seja b=a. A equação da elipse passa a ser
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1,
que é equivalente a
x^{2}+y^{2}=a^{2},
uma circunferência de raio a. Portanto a elipse com focos coincidentes é exatamente um círculo.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}
\displaystyle \text{Se }c=0\text{ então }a=b\text{ e a elipse é a circunferência }x^{2}+y^{2}=a^{2}ãéê

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