Exemplo 1.10 (Órbita Planetária). Um planeta descreve uma órbita elíptica em torno do Sol, que está em um dos focos. Se o eixo maior mede 300 unidades astronômicas e a excentricidade é 0.1 , encontre a equação da órbita.

Solução:

  • 2 a=300 \Rightarrow a=150
  • e=\frac{c}{a}=0.1 \Rightarrow c=150 \cdot 0.1=15
  • b^{2}=a^{2}-c^{2}=150^{2}-15^{2}=22500-225=22275
  • Equação (considerando o centro na origem e focos no eixo x ): \frac{x^{2}}{22500}+\frac{y^{2}}{22275}=1

Passo 1

O enunciado pede a equação da órbita elíptica de um planeta, e fornece as seguintes informações:
  • O eixo maior da elipse mede 300 unidades astronômicas.
  • A excentricidade da elipse é 0{,}1.
    A pergunta explícita é: encontrar a equação da órbita (assumindo que o centro da elipse está na origem e os focos estão sobre o eixo x).

Passo 2

Entender as quantidades geométricas que aparecem e como obtê-las a partir dos dados.
  • O “eixo maior” é o comprimento total do eixo maior; a semidistância do centro até uma extremidade desse eixo chama-se semieixo maior e é normalmente denotada por a. Assim, se o eixo maior mede 300, temos
2a=300 \quad\Rightarrow\quad a=150.
Explanação didática: o eixo maior é a distância entre os dois vértices mais distantes da elipse; como há dois semieixos maiores (um de cada lado do centro), o comprimento total é 2a. Então dividimos por 2 para obter a.

Passo 3

Usar a definição de excentricidade para obter a distância focal c.
  • A excentricidade e de uma elipse é definida por
e=\frac{c}{a},
onde c é a distância do centro até cada foco (os focos estão em (\pm c,0) se os colocarmos no eixo x). Do enunciado temos e=0{,}1 e já achamos a=150, logo
c = e\cdot a = 0{,}1\cdot 150 = 15.
Explicação didática: e mede o quanto a elipse é “esticada” — para e=0 a elipse vira um círculo, para e próximo de 1 a elipse é muito alongada. A relação c=ea vem diretamente da definição.

Passo 4

Mostrar a relação entre a, b e c e derivar a equação padrão da elipse com focos no eixo x.
  • Definição geométrica alternativa (útil para entender a equação): a elipse é o conjunto dos pontos (x,y) tais que a soma das distâncias aos dois focos é 2a:
\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=2a.
  • A partir dessa igualdade, fazendo manipulações algébricas (isolar uma raiz, elevar ao quadrado, simplificar e elevar novamente ao quadrado) obtém-se a forma padrão da elipse centrada na origem com focos no eixo x:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
onde aparece a quantidade b (o semieixo menor) relacionada por
b^{2}=a^{2}-c^{2}.
Explicação didática do passo algébrico principal (resumo das etapas sem pular as ideias): ao isolar uma raiz e elevar ao quadrado, cancela-se parte da raiz oposta levando a uma expressão linear em uma das raízes; isolando essa raiz e elevando novamente ao quadrado elimina-se as raízes completamente, e a simplificação final conduz à igualdade anterior. O termo b^{2}=a^{2}-c^{2} aparece naturalmente na simplificação e é crucial para escrever a equação na forma racionalizada acima.

Passo 5

Calcular b^{2} usando os valores numéricos obtidos.
  • Já temos a=150 e c=15. Então
b^{2}=a^{2}-c^{2}=150^{2}-15^{2}.
Fazendo as contas passo a passo:
150^{2}=22500,
15^{2}=225,
b^{2}=22500-225=22275.
Comentário didático: mantenha b^{2} exato se possível; aqui deu um inteiro, o que facilita a escrita da equação. Se desejar b em forma de raiz, seria b=\sqrt{22275}\approx149{,}25, mas a forma com b^{2} é suficiente e geralmente preferida em equações de cônicas.

Passo 6

Substituir a^{2} e b^{2} na equação padrão para obter a equação numérica da órbita.
  • A equação padrão é \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1. Substituindo a^{2}=22500 e b^{2}=22275 resulta
\frac{x^{2}}{22500}+\frac{y^{2}}{22275}=1.
Comentário final: esta é a equação da elipse com centro na origem e focos em (\pm 15,0), com semieixo maior a=150 (unidades astronômicas).

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{22500}+\frac{y^{2}}{22275}=1

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