Exemplo 1.10 (Órbita Planetária). Um planeta descreve uma órbita elíptica em torno do Sol, que está em um dos focos. Se o eixo maior mede 300 unidades astronômicas e a excentricidade é 0.1 , encontre a equação da órbita.
Solução:
-
-
-
- Equação (considerando o centro na origem e focos no eixo
):
Passo 1
O enunciado pede a equação da órbita elíptica de um planeta, e fornece as seguintes informações:
- O eixo maior da elipse mede
unidades astronômicas. - A excentricidade da elipse é
.
A pergunta explícita é: encontrar a equação da órbita (assumindo que o centro da elipse está na origem e os focos estão sobre o eixo).
Passo 2
Entender as quantidades geométricas que aparecem e como obtê-las a partir dos dados.
- O “eixo maior” é o comprimento total do eixo maior; a semidistância do centro até uma extremidade desse eixo chama-se semieixo maior e é normalmente denotada por
. Assim, se o eixo maior mede , temos
Explanação didática: o eixo maior é a distância entre os dois vértices mais distantes da elipse; como há dois semieixos maiores (um de cada lado do centro), o comprimento total é
. Então dividimos por
para obter
.
Passo 3
Usar a definição de excentricidade para obter a distância focal
.
- A excentricidade
de uma elipse é definida por
onde
é a distância do centro até cada foco (os focos estão em
se os colocarmos no eixo
). Do enunciado temos
e já achamos
, logo
Explicação didática:
mede o quanto a elipse é “esticada” — para
a elipse vira um círculo, para
próximo de
a elipse é muito alongada. A relação
vem diretamente da definição.
Passo 4
Mostrar a relação entre
,
e
e derivar a equação padrão da elipse com focos no eixo
.
- Definição geométrica alternativa (útil para entender a equação): a elipse é o conjunto dos pontos
tais que a soma das distâncias aos dois focos é :
- A partir dessa igualdade, fazendo manipulações algébricas (isolar uma raiz, elevar ao quadrado, simplificar e elevar novamente ao quadrado) obtém-se a forma padrão da elipse centrada na origem com focos no eixo
:
onde aparece a quantidade
(o semieixo menor) relacionada por
Explicação didática do passo algébrico principal (resumo das etapas sem pular as ideias): ao isolar uma raiz e elevar ao quadrado, cancela-se parte da raiz oposta levando a uma expressão linear em uma das raízes; isolando essa raiz e elevando novamente ao quadrado elimina-se as raízes completamente, e a simplificação final conduz à igualdade anterior. O termo
aparece naturalmente na simplificação e é crucial para escrever a equação na forma racionalizada acima.
Passo 5
Calcular
usando os valores numéricos obtidos.
- Já temos
e . Então
Fazendo as contas passo a passo:
Comentário didático: mantenha
exato se possível; aqui deu um inteiro, o que facilita a escrita da equação. Se desejar
em forma de raiz, seria
, mas a forma com
é suficiente e geralmente preferida em equações de cônicas.
Passo 6
Substituir
e
na equação padrão para obter a equação numérica da órbita.
- A equação padrão é
. Substituindo e resulta
Comentário final: esta é a equação da elipse com centro na origem e focos em
, com semieixo maior
(unidades astronômicas).