Definição: As equações autônomas são equações da forma
Vamos supor que
seja derivável com derivada contínua no intervalo de estudo.
Sejam
zeros da função
. Os pontos
são chamados pontos críticos ou de equilíbrio da equação
e as soluções
são chamadas soluções de equilíbrio ou estacionárias da equação.
Um ponto de equilíbrio
é chamado estável se para
um pouco diferente de
se aproxima de
, quando t cresce.
Um ponto de equilíbrio
é chamado instável se para
um pouco diferente de
se afasta de
, quando t cresce.
(a) Em cada item a seguir, esboce o gráfico de
em função de
, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty.
ii)
;
Sejam
Um ponto de equilíbrio
Um ponto de equilíbrio
(a) Em cada item a seguir, esboce o gráfico de
ii)
Passo 1
A equação proposta é uma equação autônoma de primeira ordem, pois podemos escrevê-la como
com
. Vamos precisar encontrar os pontos críticos, estudar o sinal de
em cada intervalo e classificar a estabilidade de cada ponto, além de desenhar a reta de fase e esboçar o comportamento das soluções no plano
.
Passo 2
Para achar os pontos críticos, resolvemos
:
Logo os zeros são
Passo 3
Para classificar a estabilidade, calculamos a derivada
Avaliando em cada ponto crítico:
Passo 4
Agora montamos a reta de fase analisando o sinal de
nos intervalos:
Para , escolha
e veja
: flechas para cima.
Para , escolha
e
: flechas para baixo.
Para ,
: flechas para cima.
Para ,
: flechas para baixo.
Isso confirma: de cada lado de as trajetórias se afastam (instável) e de cada lado de
se aproximam (estáveis).
Para
Para
Para
Para
Isso confirma: de cada lado de
Passo 5
Finalmente, no plano
as soluções com condição inicial
decrescem suavemente de
até se aproximarem assintoticamente de
; se
elas crescem até
; se
decrescem até
; e se
crescem até
. A solução constante
é instável, enquanto
são estacionárias estáveis.
Resposta
Pontos de equilíbrio:
.
Classificação: estável,
instável,
estável.
Reta de fase: flechas para cima em e
, para baixo em
e
.
Soluções no plano : tendem a
se
, a
se
, e se afastam de
.
Classificação:
Reta de fase: flechas para cima em
Soluções no plano