Definição: As equações autônomas são equações da forma
d yd x=f(y)
Vamos supor que f(y) seja derivável com derivada contínua no intervalo de estudo.
Sejam y1, cdots, yk zeros da função f(y). Os pontos yi são chamados pontos críticos ou de equilíbrio da equação d yd x=f(y) e as soluções y(t)=yi são chamadas soluções de equilíbrio ou estacionárias da equação.
Um ponto de equilíbrio yi é chamado estável se para y(t0) um pouco diferente de yi, y(t) se aproxima de yi, quando t cresce.
Um ponto de equilíbrio yi é chamado instável se para y(t0) um pouco diferente de yi, y(t) se afasta de yi, quando t cresce.
(a) Em cada item a seguir, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty.
ii) d yd t=y(1-y^2), -infty;

Passo 1

A equação proposta é uma equação autônoma de primeira ordem, pois podemos escrevê-la como dydt=f(y) com f(y)=y(1-y^2). Vamos precisar encontrar os pontos críticos, estudar o sinal de f(y) em cada intervalo e classificar a estabilidade de cada ponto, além de desenhar a reta de fase e esboçar o comportamento das soluções no plano t!y.

Passo 2

Para achar os pontos críticos, resolvemos f(y)=0:
y(1-y^2)=0
Logo os zeros são
y=0, y=1, y=-1

Passo 3

Para classificar a estabilidade, calculamos a derivada
f'(y)=ddy[y(1-y^2)]=1-3y^2
Avaliando em cada ponto crítico:
f'(0)=1>0 Rightarrow y=0 é instável, éá
f'(1)=1-3=-2<0 Rightarrow y=1 é estável, éá
f'(-1)=1-3=-2<0 Rightarrow y=-1 é estável éá

Passo 4

Agora montamos a reta de fase analisando o sinal de f(y) nos intervalos:
Para y<-1, escolha y=-2 e veja f(-2)=(-2)(1-4)=6>0: flechas para cima.
Para -1, escolha y=-0.5 e f(-0.5)<0: flechas para baixo.
Para 0, f(0.5)>0: flechas para cima.
Para y>1, f(2)<0: flechas para baixo.
Isso confirma: de cada lado de 0 as trajetórias se afastam (instável) e de cada lado de pm1 se aproximam (estáveis).

Passo 5

Finalmente, no plano t!y as soluções com condição inicial y(0)=y0>1 decrescem suavemente de y0 até se aproximarem assintoticamente de y=1; se 0 elas crescem até y=1; se -1 decrescem até y=-1; e se y0<-1 crescem até y=-1. A solução constante y(t)=0 é instável, enquanto y(t)=pm1 são estacionárias estáveis.

Resposta

Pontos de equilíbrio: y=-1,0,1.
Classificação: y=-1 estável, y=0 instável, y=1 estável.
Reta de fase: flechas para cima em (0,1) e (-1,0), para baixo em (1,infty) e t!y.
Soluções no plano +1: tendem a y0>0 se -1, a y0<0 se 0, e se afastam de .

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