Calcule o volume do sólido limitado pela superfícic
e pelos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o volume do sólido que está limitado pela superfície $ z = x^{2} + x y^{3} $ e pelos planos $ z = 0 $, $ x = 0 $, $ x = 5 $, $ y = -2 $ e $ y = 2
x $ e $ y $) para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região sobre a qual vamos integrar. As restrições $ x = 0 $ a $ x = 5 $ e $ y = -2 $ a $ y = 2 $ definem um retângulo no plano $ xy $. Dentro desse retângulo, a superfície $ z = x^{2} + x y^{3} $ está acima do plano $ z = 0 $.
Passo 3
O volume $ V $ pode ser calculado usando a seguinte integral dupla:
Aqui, $ x^{2} + x y^{3} $ representa a altura da superfície acima do ponto
.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ y $. Vamos integrar $ x^{2} + x y^{3} $ em relação a $ y $ de $ -2 $ a $ 2 $:
Passo 5
Calculando a primeira integral:
Passo 6
Agora, a segunda integral:
Sabemos que a integral de uma função ímpar ($ y^{3} $) sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero:
Passo 7
Somando as duas partes:
Agora, a integral dupla reduz para uma integral simples em relação a $ x $:
Passo 8
Vamos calcular essa última integral:
Resposta
O volume do sólido é $ \frac{500}{3} $ unidades cúbicas.