Calcule o volume do sólido limitado pela superfícic z=x^2+x y y^2 e pelos planos z=0, x=0, x=5, y=-2 e y=2.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o volume do sólido que está limitado pela superfície $ z = x^{2} + x y^{3} $ e pelos planos $ z = 0 $, $ x = 0 $, $ x = 5 $, $ y = -2 $ e $ y = 2 z = x^2 + x y^3 ááçãá x $ e $ y $) para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região sobre a qual vamos integrar. As restrições $ x = 0 $ a $ x = 5 $ e $ y = -2 $ a $ y = 2 $ definem um retângulo no plano $ xy $. Dentro desse retângulo, a superfície $ z = x^{2} + x y^{3} $ está acima do plano $ z = 0 $.

Passo 3

O volume $ V $ pode ser calculado usando a seguinte integral dupla:
V
Aqui, $ x^{2} + x y^{3} $ representa a altura da superfície acima do ponto V = integralx=0^5 integraly=-2^2 (x^2 + x y^3) , dy , dx .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ y $. Vamos integrar $ x^{2} + x y^{3} $ em relação a $ y $ de $ -2 $ a $ 2 $:
y

Passo 5

Calculando a primeira integral:
integraly=-2^2 x^2 , dy = x^2 [ y ]-2^2 = x^2 (2 - (-2)) = x^2 times 4 = 4x^2

Passo 6

Agora, a segunda integral:
integraly=-2^2 x y^3 , dy = x integraly=-2^2 y^3 , dy
Sabemos que a integral de uma função ímpar ($ y^{3} $) sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero:
y^3

Passo 7

Somando as duas partes:
integraly=-2^2 (x^2 + x y^3) , dy = 4x^2 + 0 = 4x^2
Agora, a integral dupla reduz para uma integral simples em relação a $ x $:
x

Passo 8

Vamos calcular essa última integral:
integralx=0^5 4x^2 , dx = 4 integralx=0^5 x^2 , dx = 4 [ x^33 ]0^5 = 4 ( 5^33 - 0 ) = 4 times 1253 = 5003

Resposta

O volume do sólido é $ \frac{500}{3} $ unidades cúbicas.

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