Calcule a integral dupla
, colocando-a em coordenadas polares, em que
é a região do primeiro quadrante entre os círculos de raios
e
centrados na origem.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla
, onde
é a região do primeiro quadrante entre dois círculos com raios
e
, ambos centrados na origem. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para regiões circulares como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
. As fórmulas são:
E o elemento de área
em coordenadas polares é:
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para
e
:
- Como estamos no primeiro quadrante, o ângulo
varia de a . - O raio
varia de até .
Passo 4
Substituindo tudo na integral original, temos:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
.
A integral fica:
Calculando os limites:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral externa em relação a
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.