Calcule a integral dupla integral duplaR sen(x^2+y^2) d A, colocando-a em coordenadas polares, em que R é a região do primeiro quadrante entre os círculos de raios r1=raizpi2 e r2=raizpi centrados na origem.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla integral duplaR sin(x^2+y^2) , dA, onde R é a região do primeiro quadrante entre dois círculos com raios r1 = raizpi2 e r2 = raizpi, ambos centrados na origem. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para regiões circulares como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (r, theta). As fórmulas são:
x = r cos theta
y = r sin theta
E o elemento de área dA em coordenadas polares é:
dA = r , dr , dtheta

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para r e theta:
  • Como estamos no primeiro quadrante, o ângulo theta varia de 0 a pi2.
  • O raio r varia de r1 = raizpi2 até r2 = raizpi.

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral duplaR sin(x^2+y^2) , dA = integral0^pi2 integralraizpi2^raizpi sin(r^2) cdot r , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a r:
integralraizpi2^raizpi r sin(r^2) , dr
Fazendo a substituição u = r^2, então du = 2r , dr, ou seja, r , dr = du2.
A integral fica:
12 integralpi2^pi sin(u) , du = 12 [-cos(u)]pi2^pi
Calculando os limites:
12 [-cos(pi) + cos(pi2)] = 12 [-(-1) + 0] = 12 cdot 1 = 12

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral externa em relação a theta:
integral0^pi2 12 , dtheta = 12 cdot pi2 = pi4

Resposta

O valor da integral dupla é pi4.

Exercícios relacionados