Resolva as EDOs e/ou PVI(d) 2 x y y^prime=4 x^2+3 y^2
R.: y^2=C x^3-4 x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
2x,y,y' = 4x^2 + 3y^2
Esta é uma EDO que envolve produtos de x, y e y'. Vamos usar a técnica de substituição para equações homogêneas.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a derivada y' isolada para identificar o tipo da EDO:
y' = 4x^2 + 3y^22x,y
Note que a fração é homogênea de grau zero em y/x, então podemos usar a substituição v = y/x.

Passo 3

Fazendo y = vx, temos
y' = v + xdvdx
Substituindo em y' = (4x^2 + 3y^2)/(2xy) e dividindo ambos os lados por x^2 obtém-se uma EDO em v:
2vl(v + xdvdxr) = 4 + 3v^2
que se simplifica para
xdvdx = 4 + v^22v

Passo 4

Agora separamos variáveis:
2v4 + v^2,dv = dxx
Integramos ambos os lados:
integral 2v4 + v^2,dv = integral dxx implies ln|4 + v^2| = ln|x| + C1

Passo 5

Retornando à variável original y = vx, temos v^2 = y^2/x^2. Assim
4 + y^2x^2 = C2 x
onde C2 = e^C1. Multiplicando tudo por x^2 e rearranjando:
y^2 = C x^3 - 4x^2
com C constante arbitrária.

Passo 6

Esta é a solução geral da EDO original.

Resposta

y^2 = C x^3 - 4x^2

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