Qual definição específica acerca da metodologia de um teste de hipóteses pode ser fundamentada na rejeição de \mathrm{H}_{0} no teste de Bera-Jarque? E quais características acerca do conjunto de dados podemos presumir?

Passo 1

O teste de Bera–Jarque verifica a hipótese nula
\mathrm{H}_{0}:\;X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})
baseando‐se nos momentos amostrais de assimetria S e curtose K. A estatística de teste é
\mathrm{BJ} \;=\;\frac{n}{6}\;S^{2}\;+\;\frac{n}{24}\,(K-3)^{2}
que, sob \mathrm{H}_{0} e para n grande, converge em distribuição a \chi^{2}_{2}.

Passo 2

Na metodologia de teste de hipóteses definimos um nível de significância \alpha, fixamos a região crítica
\{\mathrm{BJ} > \chi^{2}_{1-\alpha,\,2}\}
e calculamos o p-valor como
p = 1 - F_{\chi^{2}_{2}}(\text{BJ}_{\rm obs}).
Rejeitamos \mathrm{H}_{0} ao nível \alpha sempre que p<\alpha (ou \mathrm{BJ}>\chi^{2}_{1-\alpha,2}). Nesse procedimento a probabilidade de rejeitar \mathrm{H}_{0} quando ela é verdadeira é controlada em \alpha (erro do tipo I).

Passo 3

Ao rejeitar \mathrm{H}_{0} no teste de Bera–Jarque concluímos que há evidência estatística de que
S\neq 0\quad\text{e/ou}\quad K\neq 3
na amostra. Ou seja, podemos presumir que o conjunto de dados não segue distribuição normal, apresentando assimetria significativa e/ou caudas mais pesadas (ou leves) do que a normal.

Resposta

Rejeitar \mathrm{H}_{0} no teste de Bera–Jarque significa adotar o critério “p-valor < \alpha” (ou \mathrm{BJ}>\chi^{2}_{1-\alpha,2}), garantindo que a probabilidade de erro tipo I é \alpha. Além disso, podemos presumir que a amostra apresenta desvio de normalidade: seus coeficientes de assimetria e/ou curtose diferem dos valores 0 e 3 típicos de uma distribuição normal.

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