Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções: f(t)=\left\{\begin{array}{rll}t, & \text { se } & 0 \leq t<1 \\\\ 2-t, & \text { se } & 0 \leq t<2 \\\\ 0, & \text { se } & 2 \leq t<\infty\end{array}\right. Passo 1O enunciado define a função por partes f(t)= \begin{cases} t, & 0 \le t < 1,\\\\ 2 - t, & 1 \le t < 2,\\\\ 0, & t \ge 2, \end{cases} e pede sua Transformada de Laplace \mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt. Como f(t)=0 para t\ge2, basta integrar de 0 a 2 dividindo nos dois ramos. Passo 2Escrevemos \mathcal{L}\{f\}(s) =\int_{0}^{1}t\,e^{-st}\,dt +\int_{1}^{2}(2-t)\,e^{-st}\,dt. Passo 3Para a primeira integral usamos integração por partes com \displaystyle u=t, \displaystyle dv=e^{-st}dt. Então \int_{0}^{1}t\,e^{-st}dt =\Bigl[-\frac{t\,e^{-st}}{s}\Bigr]_{0}^{1} +\frac{1}{s}\int_{0}^{1}e^{-st}dt = \Bigl(-\frac{e^{-s}}{s}\Bigr) +\frac{1}{s}\Bigl[-\frac{e^{-st}}{s}\Bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{s^{2}}-\frac{e^{-s}(s+1)}{s^{2}}. Passo 4Para a segunda integral separamos \int_{1}^{2}(2-t)e^{-st}dt =2\int_{1}^{2}e^{-st}dt -\int_{1}^{2}t\,e^{-st}dt. Calcula-se 2\int_{1}^{2}e^{-st}dt =\frac{2}{s}\bigl(e^{-s}-e^{-2s}\bigr), e novamente por partes \displaystyle \int_{1}^{2}t\,e^{-st}dt =\Bigl[-\frac{t\,e^{-st}}{s}\Bigr]_{1}^{2} +\frac{1}{s}\int_{1}^{2}e^{-st}dt =\frac{-(2e^{-2s}-e^{-s})}{s} +\frac{1}{s}\frac{e^{-s}-e^{-2s}}{s} =\frac{(s-1)e^{-s}+e^{-2s}}{s^{2}}. Portanto \int_{1}^{2}(2-t)e^{-st}dt =\frac{2\bigl(e^{-s}-e^{-2s}\bigr)}{s} -\frac{(s-1)e^{-s}+e^{-2s}}{s^{2}} =\frac{(s-1)e^{-s}+e^{-2s}}{s^{2}}. Passo 5Somando os dois resultados \mathcal{L}\{f\}(s) =\Bigl[\frac{1}{s^{2}}-\frac{(s+1)e^{-s}}{s^{2}}\Bigr] +\Bigl[\frac{(s-1)e^{-s}+e^{-2s}}{s^{2}}\Bigr] =\frac{1-2e^{-s}+e^{-2s}}{s^{2}} =\frac{\bigl(1-e^{-s}\bigr)^{2}}{s^{2}}. Resposta \mathcal{L}\{f\}(s) =\frac{\bigl(1-e^{-s}\bigr)^{2}}{s^{2}}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosO Método de Frobenius para uma equação com ponto singular regular, consiste em procurar solução na forma \text { (*) } y=\left(x-x_{0}\right)^{r} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n+r}, \quad \text { supondo } a_{0} \neq 0 . Para determinar uma solução da EDO por este método precisamos determinar: Os valores de r para os quais a EDO tem solução na forma de série em (*). Esses valores surgem da resolução de uma equação algébrica de segundo grau, denominada equação indicial, cujas soluções r_{1} e r_{2} são chamadas raízes indiciais; Uma definição para a função gama é dada pela integral imprópria \Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty} t^{\alpha-1} e^{-t} d t, \alpha>0. (a) Mostre que \Gamma(\alpha+1)=\alpha \Gamma(\alpha). (b) Mostre que \mathcal{L}\left(t^{\alpha}\right)=\frac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}}, \alpha>-1. Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções: f(t)=\left\{\begin{array}{rll}t, & \text { se } & 0 \leq t<1 \\\\ 2-t, & \text { se } & 0 \leq t<2 \\\\ 0, & \text { se } & 2 \leq t<\infty\end{array}\right. Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções: g(t)=\left\{\begin{array}{lll}1, & \text { se } & 0 \leq t<\pi \\\\ 0, & \text { se } & \pi \leq t<\infty\end{array}\right.