O Método de Frobenius para uma equação com ponto singular regular, consiste em procurar solução na forma
\text { (*) } y=\left(x-x_{0}\right)^{r} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n+r}, \quad \text { supondo } a_{0} \neq 0 .
Para determinar uma solução da EDO por este método precisamos determinar:
Os valores de r para os quais a EDO tem solução na forma de série em (*). Esses valores surgem da resolução de uma equação algébrica de segundo grau, denominada equação indicial, cujas soluções r_{1} e r_{2} são chamadas raízes indiciais;

Passo 1

O enunciado explica o Método de Frobenius para encontrar soluções de uma EDO linear de segunda ordem numa vizinhança de um ponto singular regular x_0. Nele, busca‐se
y=(x-x_0)^r\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n, \quad a_0\neq0,
e os expoentes r vêm das raízes de uma equação quadrática chamada equação indicial.

Passo 2

Para efetivamente determinar os valores de r (as raízes indiciais r_1 e r_2) seria necessário conhecer os coeficientes da EDO — isto é, a forma explícita da equação (os termos em y'',y',y e suas singularidades em x_0). A partir desses coeficientes, faz‐se a substituição da série proposta, coleta‐se o termo de menor potência de (x-x_0) e obtém‐se a equação indicial.

Resposta

Não há como determinar as raízes indiciais sem a forma explícita da equação diferencial e sem saber os coeficientes que definem a singularidade em x_0.

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