Dê a definição de função injetora e função sobrejetora e diga se as funções abaixo são injetoras, sobrejetoras, ambos ou nenhum dos dois.
(a)
dada por
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para definirmos o que é uma função injetora e uma função sobrejetora e, em seguida, analisar se a função
dada por
possui alguma dessas propriedades.
Passo 2
Uma função
é dita injetora se elementos distintos do domínio têm imagens distintas. Em termos formais,
é injetora se, sempre que
, isso implica
.
Uma função é dita sobrejetora se todo elemento do contradomínio
é atingido por algum elemento do domínio
. Em termos formais,
é sobrejetora se, para cada
, existe pelo menos um
tal que
.
Uma função
Passo 3
Para testar a injetividade de
, basta encontrar dois valores distintos de
que gerem a mesma imagem. Observamos que
e
, ou seja,
mas
. Isso mostra que
não é injetora.
Passo 4
Para testar a sobrejetividade de
, verificamos se todo
tem alguma pré-imagem. Como
só produz valores
, nenhum
satisfaz
quando
. Logo,
não atinge valores negativos, sendo impossível cobrir todo o contradomínio
. Portanto,
não é sobrejetora.
Passo 5
Concluímos que a função
não é nem injetora nem sobrejetora.
Resposta
A função não é injetora e também não é sobrejetora.