Dê a definição de função injetora e função sobrejetora e diga se as funções abaixo são injetoras, sobrejetoras, ambos ou nenhum dos dois.
(a) f: R R dada por f(x)=x^2.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o que é uma função injetora e uma função sobrejetora e, em seguida, analisar se a função f: RtoR dada por f(x)=x^2 possui alguma dessas propriedades.

Passo 2

Uma função f:Ato B é dita injetora se elementos distintos do domínio têm imagens distintas. Em termos formais, f é injetora se, sempre que f(x1)=f(x2), isso implica x1=x2.
Uma função f:Ato B é dita sobrejetora se todo elemento do contradomínio B é atingido por algum elemento do domínio A. Em termos formais, f é sobrejetora se, para cada yin B, existe pelo menos um xin A tal que f(x)=y.

Passo 3

Para testar a injetividade de f(x)=x^2, basta encontrar dois valores distintos de x que gerem a mesma imagem. Observamos que f(1)=1^2=1 e f(-1)=(-1)^2=1, ou seja, f(1)=f(-1) mas 1neq -1. Isso mostra que f não é injetora.

Passo 4

Para testar a sobrejetividade de f(x)=x^2, verificamos se todo yinR tem alguma pré-imagem. Como x^2 só produz valores >= 0, nenhum xinR satisfaz x^2=y quando y<0. Logo, f não atinge valores negativos, sendo impossível cobrir todo o contradomínio R. Portanto, f não é sobrejetora.

Passo 5

Concluímos que a função f(x)=x^2 não é nem injetora nem sobrejetora.

Resposta

A função não é injetora e também não é sobrejetora.

Exercícios relacionados