Usando o Teorema Fundamental da Aritmética, encontre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos pares de números a seguir. Também, encontre o número de divisores positivos de cada um dos números:
234 e 456 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular o máximo divisor comum (mdc) e o mínimo múltiplo comum (mmc) de 234 e 456, além de determinar quantos divisores positivos cada número tem. Para isso vamos usar o Teorema Fundamental da Aritmética, isto é, fatorar em primos e usar as propriedades de mdc, mmc e a fórmula do número de divisores.

Passo 2

Primeiro fatoramos os números em potências de primos: temos
234 = 2 × 117 = 2 × 9 × 13 = 2 × 3² × 13
456 = 8 × 57 = 2³ × 57 = 2³ × 3 × 19

Passo 3

Agora escrevemos as fatorações no formato padrão:
234 = 2¹ · 3² · 13¹
456 = 2³ · 3¹ · 19¹

Passo 4

Para encontrar o mdc usamos os menores expoentes de cada primo em comum:
mdc(234,456) = 2^min(1,3) · 3^min(2,1) = 2¹ · 3¹ = 6

Passo 5

Para o mmc usamos os maiores expoentes de cada primo (incluindo todos que aparecem em um ou outro):
mmc(234,456) = 2^max(1,3) · 3^max(2,1) · 13¹ · 19¹ = 2³ · 3² · 13 · 19

Passo 6

Calculando em sequência:
2³ = 8
3² = 9
8 · 9 = 72
72 · 13 = 936
936 · 19 = 17784
Logo mmc(234,456) = 17784

Passo 7

Para contar o número de divisores positivos de um n = p₁^e₁ · p₂^e₂ · … · p_k^e_k usamos (e₁+1)(e₂+1)…(e_k+1). Assim:
Para 234 = 2¹ · 3² · 13¹ temos (1+1)(2+1)(1+1) = 2 · 3 · 2 = 12
Para 456 = 2³ · 3¹ · 19¹ temos (3+1)(1+1)(1+1) = 4 · 2 · 2 = 16

Resposta

MDC(234,456) = 6; MMC(234,456) = 17784; número de divisores positivos de 234 = 12; de 456 = 16.

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