Encotre a transformada de Laplace das funções abaixo:
f(t)=e^2 t sen(3 t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)=e^2t,sin(3t). O conteúdo envolve a definição de transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento no eixo s. Vamos usar a fórmula básica de sin(omega t) e depois aplicar o deslocamento gerado pelo fator exponencial.

Passo 2

A transformada de Laplace de sin(omega t) é dada por
Lsin(omega t)(s)=omegas^2+omega^2
Aqui, no nosso caso, omega=3, então
Lsin(3t)(s)=3s^2+9

Passo 3

A propriedade de deslocamento no eixo s diz que
Le^atf(t)(s)=F(s-a)
onde F(s)=Lf(t)(s). No nosso problema, a=2 e f(t)=sin(3t).

Passo 4

Aplicando a propriedade de deslocamento, tomamos F(s)=3/(s^2+9) e fazemos a troca sto s-2. Assim,
Le^2t,sin(3t)(s)=3(s-2)^2+9

Passo 5

Portanto, a transformada de Laplace desejada fica bem direta após aplicar essas duas fórmulas básicas.

Resposta

3(s-2)^2+9

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