Usando o Teorema Fundamental da Aritmética, encontre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos pares de números a seguir. Também, encontre o número de divisores positivos de cada um dos números:
105 e 245 .
105 e 245 .
Passo 1
O problema pede, usando o Teorema Fundamental da Aritmética, para encontrar o máximo divisor comum (MDC) e o mínimo múltiplo comum (MMC) dos números 105 e 245, além de calcular o número de divisores positivos de cada um. Vamos precisar decompor cada número em fatores primos, comparar expoentes e usar a fórmula de contagem de divisores.
Passo 2
Aplique o Teorema Fundamental da Aritmética para decompor 105 em fatores primos. Dividindo sucessivamente, obtemos:
Passo 3
De forma análoga, fatore 245 em primos:
Passo 4
Para achar o MDC, tome cada fator primo que aparece em ambas as fatorações com o menor expoente correspondente. Aqui os fatores comuns são 5 e 7, com expoentes
e
. Assim:
Passo 5
Para o MMC, use todos os fatores primos presentes nas duas fatorações com o maior expoente de cada. Os fatores são 3, 5 e 7, com expoentes
respectivamente:
Passo 6
O número de divisores positivos de um número
é dado por
. Para 105, temos expoentes
, então:
Passo 7
Para 245, com expoentes
, obtemos:
Resposta
MDC(105,245) = 35; MMC(105,245) = 735; 105 tem 8 divisores positivos; 245 tem 6 divisores positivos.