Usando o Teorema Fundamental da Aritmética, encontre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos pares de números a seguir. Também, encontre o número de divisores positivos de cada um dos números:
105 e 245 .

Passo 1

O problema pede, usando o Teorema Fundamental da Aritmética, para encontrar o máximo divisor comum (MDC) e o mínimo múltiplo comum (MMC) dos números 105 e 245, além de calcular o número de divisores positivos de cada um. Vamos precisar decompor cada número em fatores primos, comparar expoentes e usar a fórmula de contagem de divisores.

Passo 2

Aplique o Teorema Fundamental da Aritmética para decompor 105 em fatores primos. Dividindo sucessivamente, obtemos:
105 = 3^1 cdot 5^1 cdot 7^1

Passo 3

De forma análoga, fatore 245 em primos:
245 = 5^1 cdot 7^2

Passo 4

Para achar o MDC, tome cada fator primo que aparece em ambas as fatorações com o menor expoente correspondente. Aqui os fatores comuns são 5 e 7, com expoentes min(1,1)=1 e min(1,2)=1. Assim:
MDC(105,245) = 5^1 cdot 7^1 = 35

Passo 5

Para o MMC, use todos os fatores primos presentes nas duas fatorações com o maior expoente de cada. Os fatores são 3, 5 e 7, com expoentes 1,1,2 respectivamente:
MMC(105,245) = 3^1 cdot 5^1 cdot 7^2 = 735

Passo 6

O número de divisores positivos de um número n = p1^a p2^b cdots é dado por (a+1)(b+1)cdots. Para 105, temos expoentes 1,1,1, então:
tau(105) = (1+1)(1+1)(1+1) = 8

Passo 7

Para 245, com expoentes 1,2, obtemos:
tau(245) = (1+1)(2+1) = 6

Resposta

MDC(105,245) = 35; MMC(105,245) = 735; 105 tem 8 divisores positivos; 245 tem 6 divisores positivos.

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