Dê a definição de função injetora e função sobrejetora e diga se as funções abaixo são injetoras, sobrejetoras, ambos ou nenhum dos dois.
(e) f: R [-1,1] dada por f(x)=cos x.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o que são funções injetoras e sobrejetoras e, em seguida, classificar a função f:R to [-1,1] dada por f(x)=cos x. Vamos usar conceitos de teoria de funções.

Passo 2

Uma função f:Ato B é injetora se, sempre que f(x1)=f(x2), então necessariamente x1=x2. Em outras palavras, elementos distintos de A não podem ter a mesma imagem em B.

Passo 3

Uma função f:Ato B é sobrejetora se, para todo yin B, existe algum xin A tal que f(x)=y. Ou seja, a imagem de f coincide com todo o conjunto B.

Passo 4

Para verificar injetividade de f(x)=cos x em R, lembramos que o cosseno é uma função periódica de período 2pi. Por exemplo, cos0=cos(2pi) mas 0neq2pi. Logo, f(x) não é injetora.

Passo 5

Para verificar sobrejetividade de f(x)=cos x no contradomínio [-1,1], lembramos que o alcance do cosseno é exatamente [-1,1]. Mais formalmente, dado qualquer yin[-1,1], podemos tomar x=arccos(y) (ou qualquer outra solução 2kpipmarccos(y)), de modo que cos x=y. Portanto, f é sobrejetora.

Passo 6

Concluímos que f(x)=cos x não é injetora, mas é sobrejetora de R em [-1,1].

Resposta

A função não é injetora e é sobrejetora.

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