Dê a definição de função injetora e função sobrejetora e diga se as funções abaixo são injetoras, sobrejetoras, ambos ou nenhum dos dois.
(e)
dada por
.
(e)
Passo 1
O enunciado pede para definirmos o que são funções injetoras e sobrejetoras e, em seguida, classificar a função
dada por
. Vamos usar conceitos de teoria de funções.
Passo 2
Uma função
é injetora se, sempre que
, então necessariamente
. Em outras palavras, elementos distintos de
não podem ter a mesma imagem em
.
Passo 3
Uma função
é sobrejetora se, para todo
, existe algum
tal que
. Ou seja, a imagem de
coincide com todo o conjunto
.
Passo 4
Para verificar injetividade de
em
, lembramos que o cosseno é uma função periódica de período
. Por exemplo,
mas
. Logo,
não é injetora.
Passo 5
Para verificar sobrejetividade de
no contradomínio
, lembramos que o alcance do cosseno é exatamente
. Mais formalmente, dado qualquer
, podemos tomar
(ou qualquer outra solução
), de modo que
. Portanto,
é sobrejetora.
Passo 6
Concluímos que
não é injetora, mas é sobrejetora de
em
.
Resposta
A função não é injetora e é sobrejetora.