Use a transformada de Laplace para resolver os PVIs abaixo.
y^prime prime+y^prime=sen(2 t), y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva o PVI
Ly' = sY(s) - y(0)
usando transformada de Laplace. Vamos precisar das fórmulas
Ly'' = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0),
Lsin(2t) = 2s^2 + 4,
e de
.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados:
Ly'' + Ly' = Lsin(2t)
Substituindo as expressões das derivadas e os valores iniciais y(0)=1, y'(0)=0, obtemos
(s^2Y - s) + (sY - 1) = 2s^2 + 4

Passo 3

Reagrupando:
Y(s)(s^2 + s) - (s + 1) = 2s^2 + 4
Y(s)(s(s+1)) = s + 1 + 2s^2 + 4
Portanto
Y(s) = s + 1s(s+1) + 2s(s+1)(s^2+4) = 1s + 2s(s+1)(s^2+4)

Passo 4

Agora fazemos frações parciais em
2s(s+1)(s^2+4) = As + Bs+1 + Cs + Ds^2+4
Montando e igualando coeficientes encontramos
A = tfrac12, ; B = -tfrac25, ; C = -tfrac110, ; D = -tfrac25

Passo 5

Voltando ao tempo, cada termo vira:
  • L^-1(1/s) = 1
  • L^-1(1/(2s)) = tfrac12
  • L^-1(-2/(5(s+1))) = -tfrac25 e^-t
  • L^-1(-tfrac110 s/(s^2+4)) = -tfrac110cos(2t)
  • L^-1(-tfrac25/(s^2+4)) = -tfrac15sin(2t)
Somando tudo e simplificando os termos constantes, chegamos a:

Passo 6

A solução final é
y(t) = 1 + tfrac12 - tfrac25 e^-t - tfrac110cos(2t) - tfrac15sin(2t)
que simplifica para
y(t) = 32 - 25e^-t - 110cos(2t) - 15sin(2t)

Resposta

y(t) = 32 - 25e^-t - 110cos(2t) - 15sin(2t)

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