Use a transformada de Laplace para resolver os PVIs abaixo.
y^prime prime+y^prime=t^2-cosh (4 t), y(0)=-1, y^prime(0)=0

Passo 1

A questão pede para resolver o PVI y''+y'=t^2-cosh(4t) com condições y(0)=-1 e y'(0)=0 usando transformada de Laplace. Vamos precisar das fórmulas de Ly',Ly'',Lt^2 e Lcosh(4t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Como Y(s)=Ly(t), temos:
Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)=s^2Y(s)+s, Ly'=sY(s)-y(0)=sY(s)+1
No lado direito,
Lt^2=2s^3, Lcosh(4t)=ss^2-16

Passo 3

Somando y''+y' em s-domínio e igualando ao termo fonte:
(s^2Y(s)+s)+(sY(s)+1)=2s^3-ss^2-16
Isso dá
(s^2+s)Y(s)+(s+1)=2s^3-ss^2-16,
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Y(s)=2s^3-ss^2-16-(s+1)s(s+1)

Passo 4

Fazendo separação em frações parciais e simplificando, chega-se a
Y(s)=-3s+2s^2-2s^3+2s^4+31151s+1-1401s-4-1241s+4

Passo 5

Agora invertendo termo a termo:
  • L^-11/s=1
  • L^-11/s^2=t
  • L^-11/s^3=t^2/2
  • L^-11/s^4=t^3/6
  • L^-11/(s+1)=e^-t
  • L^-11/(s-4)=e^4t
  • L^-11/(s+4)=e^-4t.
    Somando tudo, obtemos a solução no tempo.

Passo 6

Verificamos as condições iniciais em t=0 para conferir que y(0)=-1 e y'(0)=0 se satisfazem, confirmando que não houve erros de constantes.

Passo 7

Finalizamos a combinação dos termos invertidos para escrever y(t) de forma fechada.

Resposta

[\]
y(t) = -3 + 2t - t^2 + \frac{t^3}{3} + \frac{31}{15}e^{-t} - \frac{1}{40}e^{4t} - \frac{1}{24}e^{-4t}

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