Use a transformada de Laplace para resolver os PVIs abaixo.
Passo 1
A questão pede para resolver o PVI
com condições
e
usando transformada de Laplace. Vamos precisar das fórmulas de
e
.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Como
, temos:
No lado direito,
Passo 3
Somando
em
-domínio e igualando ao termo fonte:
Isso dá
logo
Passo 4
Fazendo separação em frações parciais e simplificando, chega-se a
Passo 5
Agora invertendo termo a termo:
-
-
-
-
-
-
-
.
Somando tudo, obtemos a solução no tempo.
Passo 6
Verificamos as condições iniciais em
para conferir que
e
se satisfazem, confirmando que não houve erros de constantes.
Passo 7
Finalizamos a combinação dos termos invertidos para escrever
de forma fechada.
Resposta
[\]
y(t) = -3 + 2t - t^2 + \frac{t^3}{3} + \frac{31}{15}e^{-t} - \frac{1}{40}e^{4t} - \frac{1}{24}e^{-4t}