Dê a definição de função injetora e função sobrejetora e diga se as funções abaixo são injetoras, sobrejetoras, ambos ou nenhum dos dois.
(d) f: R R dada por f(x)=sin x.

Passo 1

O enunciado pede para dar a definição de função injetora e função sobrejetora e, em seguida, decidir se a função f: R to R, f(x)=sin x, é injetora, sobrejetora, ambas ou nenhuma.

Passo 2

Função injetora: dizemos que f:Ato B é injetora quando para quaisquer x1,x2in A, se f(x1)=f(x2) então necessariamente x1=x2. Em outras palavras, cada valor da imagem é atingido por no máximo um ponto do domínio.
Função sobrejetora: dizemos que f:Ato B é sobrejetora quando para todo yin B existe pelo menos xin A tal que f(x)=y. Ou seja, toda posição do contradomínio é preenchida por algum ponto do domínio.

Passo 3

Analisando a injetividade de f(x)=sin x: como o seno é função periódica, existem x1neq x2 (por exemplo, 0 e 2pi) tais que sin x1=sin x2. Logo, não vale a condição de f(x1)=f(x2)Rightarrow x1=x2, então f não é injetora.

Passo 4

Analisando a sobrejetividade de f(x)=sin x: o conjunto imagem de sin x é o intervalo [-1,1], mas o contradomínio é R. Logo, valores em R fora de [-1,1] não têm nenhum x com sin x=y. Portanto, f não é sobrejetora.

Resposta

A função f(x)=sin x não é injetora e não é sobrejetora.

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