Dê a definição de função injetora e função sobrejetora e diga se as funções abaixo são injetoras, sobrejetoras, ambos ou nenhum dos dois.
(d)
dada por
.
(d)
Passo 1
O enunciado pede para dar a definição de função injetora e função sobrejetora e, em seguida, decidir se a função
,
, é injetora, sobrejetora, ambas ou nenhuma.
Passo 2
Função injetora: dizemos que
é injetora quando para quaisquer
, se
então necessariamente
. Em outras palavras, cada valor da imagem é atingido por no máximo um ponto do domínio.
Função sobrejetora: dizemos que é sobrejetora quando para todo
existe pelo menos
tal que
. Ou seja, toda posição do contradomínio é preenchida por algum ponto do domínio.
Função sobrejetora: dizemos que
Passo 3
Analisando a injetividade de
: como o seno é função periódica, existem
(por exemplo,
e
) tais que
. Logo, não vale a condição de
, então
não é injetora.
Passo 4
Analisando a sobrejetividade de
: o conjunto imagem de
é o intervalo
, mas o contradomínio é
. Logo, valores em
fora de
não têm nenhum
com
. Portanto,
não é sobrejetora.
Resposta
A função
não é injetora e não é sobrejetora.