Definição de Imersão e Submersões. Forma Local das Imersões.
Para cada um dos itens a) e b) abaixo, encontre um exemplo em R^2 de uma função f de classe C^infty tal que:
a) A função f é uma função aberta (leva abertos em abertos), mas f não é uma submersão. Justifique.
b) A função f é injetora, mas f não é uma imersão. Justifique.
c) Usando a forma local das imersões, mostre que, se f: Omega subset R^m R^n é uma imersão, então para todo x in R^m existe um aberto U tal que x in U subset Omega e f|U: U R^n é injetora.

Passo 1

O enunciado pede em R^2 exemplos de função C^infty que satisfaçam certas propriedades ligadas a imersão e submersão, e depois usar a forma local das imersões para mostrar que imersões são localmente injetoras.
Conteúdos que vamos usar:
  • Definição de submersão: fcolon Mto N é submersão em p se o diferencial Dfp é sobrejetor.
  • Definição de imersão: fcolon Mto N é imersão em p se Dfp é injetor.
  • Fato de que um mapa coordenada “ xmapsto x^3” é aberto (é homeomorfismo de R).
  • Lema (forma local de imersões): se Dfx é injetor, há coordenadas em torno de x e f(x) que “achatem” f à inclusão (u1,dots,um)mapsto(u1,dots,um,0,dots,0).

Passo 2

(a) Exemplo de função aberta mas não submersão:
fcolon R^2to R^2, f(x,y)=(x^3,;y)
  1. f é C^infty.
  2. xmapsto x^3 é homeomorfismo de R (logo aberto), e a projeção (x,y)mapsto y também é aberta. Como produto de mapas abertos, f leva abertos em abertos.
  3. O Jacobiano é
Df(x,y)= 3x^2 & 0 0 & 1 ,
cuja determinante é det Df(x,y)=3x^2. Em pontos com x=0 temos det Df=0, logo Df não é sobrejetor ali. Concluímos que f não é submersão globalmente.

Passo 3

(b) Exemplo de função injetora mas não imersão:
fcolon R^2to R^2, f(x,y)=(x^3,;y)
  1. Se f(x,y)=f(x',y') então x^3=(x')^3 e y=y'. Como a função xmapsto x^3 é injetora em R, segue x=x' e y=y'. Logo f é globalmente injetora.
  2. No ponto (0,0) o diferencial é
Df(0,0)= 0 & 0 0 & 1 ,
que tem núcleo não trivial e, portanto, não é injetor. Assim f não é imersão em (0,0).

Passo 4

(c) Prova de que imersões são localmente injetoras via forma local:
Se fcolonOmegasubset R^mto R^n é imersão em x, então Dfx tem posto m. Pelo Lema da forma local de imersões existem difeomorfismos de carta
phicolon Uto Vsubset R^m com xin UsubsetOmega e
psicolon Wto Zsubset R^n com f(x)in W, tais que, em coordenadas,
l(psicirc fcircphi^-1r)(u1,dots,um) = (u1,dots,um,,0,dots,0)in R^n
Essa aplicação padrão é claramente injetora em qualquer vizinhança de phi(x), então f|U é injetora em U.

Resposta

(a) f(x,y)=(x^3,y) é aberta mas não submersão (pois det Df(0,y)=0).
(b) f(x,y)=(x^3,y) é injetora mas não imersão (pois Df(0,0) não é injetor).
(c) Pela forma local de imersões, perto de cada x f fica, em coordenadas, igual à inclusão (u1,dots,um)mapsto(u1,dots,um,0,dots,0), o que é injetor num pequeno aberto.

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