Definição de Imersão e Submersões. Forma Local das Imersões.
Para cada um dos itens a) e b) abaixo, encontre um exemplo em de uma função de classe tal que:
a) A função é uma função aberta (leva abertos em abertos), mas não é uma submersão. Justifique.
b) A função é injetora, mas não é uma imersão. Justifique.
c) Usando a forma local das imersões, mostre que, se é uma imersão, então para todo existe um aberto tal que e é injetora.
Passo 1
O enunciado pede em exemplos de função que satisfaçam certas propriedades ligadas a imersão e submersão, e depois usar a forma local das imersões para mostrar que imersões são localmente injetoras.
Conteúdos que vamos usar:
Definição de submersão: é submersão em se o diferencial é sobrejetor.
Definição de imersão: é imersão em se é injetor.
Fato de que um mapa coordenada “” é aberto (é homeomorfismo de ).
Lema (forma local de imersões): se é injetor, há coordenadas em torno de e que “achatem” à inclusão .
Passo 2
(a) Exemplo de função aberta mas não submersão:
é .
é homeomorfismo de (logo aberto), e a projeção também é aberta. Como produto de mapas abertos, leva abertos em abertos.
O Jacobiano é
cuja determinante é det Df(x,y)=3x^2. Em pontos com x=0 temos det Df=0, logo Df não é sobrejetor ali. Concluímos que f não é submersão globalmente.
Passo 3
(b) Exemplo de função injetora mas não imersão:
fcolon R^2to R^2, f(x,y)=(x^3,;y)
Se f(x,y)=f(x',y') então x^3=(x')^3 e y=y'. Como a função xmapsto x^3 é injetora em R, segue x=x' e y=y'. Logo f é globalmente injetora.
No ponto (0,0) o diferencial é
Df(0,0)= 0 & 0 0 & 1 ,
que tem núcleo não trivial e, portanto, não é injetor. Assim f não é imersão em (0,0).
Passo 4
(c) Prova de que imersões são localmente injetoras via forma local:
Se fcolonOmegasubset R^mto R^n é imersão em x, então Dfx tem posto m. Pelo Lema da forma local de imersões existem difeomorfismos de carta phicolon Uto Vsubset R^m com xin UsubsetOmega e psicolon Wto Zsubset R^n com f(x)in W, tais que, em coordenadas,
Essa aplicação padrão é claramente injetora em qualquer vizinhança de phi(x), então f|U é injetora em U.
Resposta
(a) f(x,y)=(x^3,y) é aberta mas não submersão (pois det Df(0,y)=0).
(b) f(x,y)=(x^3,y) é injetora mas não imersão (pois Df(0,0) não é injetor).
(c) Pela forma local de imersões, perto de cada xf fica, em coordenadas, igual à inclusão (u1,dots,um)mapsto(u1,dots,um,0,dots,0), o que é injetor num pequeno aberto.