Q 128 Retas tangentes e retas normais, via derivada implícita:
Seja C a circunferência de raio 1 centrada na origem e t a reta tangente à C no ponto de abscissa x0=raiz22. Determine a área da região compeendida entre a reta t, a circunferência C, o eixo x e o eixo y.

Passo 1

O enunciado diz que C é a circunferência de raio 1 centrada na origem e pede a área da região limitada pela reta tangente t no ponto de abscissa x0=tfracraiz22, pela própria circunferência C, pelo eixo x e pelo eixo y. O conteúdo aqui envolve derivada implícita para achar a reta tangente, depois montar uma integral (ou duas) para computar a área dessa região no primeiro quadrante.

Passo 2

Na circunferência
x^2+y^2=1
o ponto de abscissa x0=tfracraiz22 no primeiro quadrante tem
y0=raiz1-x0^2=raiz1-tfrac12=tfracraiz22
A derivada implícita dá
2x+2y,y'=0 Longrightarrow y'=-xy,
logo em l(x0,y0r) temos
y'=-tfracraiz22tfracraiz22=-1
A reta tangente tem coeficiente angular -1 e passa por l(tfracraiz22,tfracraiz22r), então
y-tfracraiz22=-1l(x-tfracraiz22r) Longrightarrow y=-x+raiz2

Passo 3

Os pontos de interseção da reta y=-x+raiz2 com os eixos são
x=0;Longrightarrow;y=raiz2, y=0;Longrightarrow;x=raiz2
A circunferência corta os eixos em (1,0) e (0,1). Entre esses valores a reta fica acima da circunferência, e para x>1 a circunferência não está mais presente.

Passo 4

A região procurada é o domínio fechado pela curva y=raiz1-x^2 (arco de círculo), a reta y=-x+raiz2 e os segmentos dos eixos entre (1,0) e (raiz2,0) e entre (0,1) e (0,raiz2). Podemos dividir em duas partes por abscissa:
1. Para 0<= x<=1, a “faixa” vertical vai de y=raiz1-x^2 até y=-x+raiz2.
2. Para 1<= x<=raiz2, só existe a faixa de y=0 até y=-x+raiz2.
Assim a área é
A =integral0^1l[,(-x+raiz2)-raiz1-x^2r],dx +integral1^raiz2l(-x+raiz2r),dx

Passo 5

Calculemos cada integral:
  1. integral0^1(-x+raiz2),dx =l[raiz2,x-tfracx^22r]0^1 =raiz2-tfrac12
  2. integral0^1raiz1-x^2,dx é a área de um quarto de círculo de raio 1, ou seja pi/4.
  3. integral1^raiz2(-x+raiz2),dx =l[raiz2,x-tfracx^22r]1^raiz2 =(2-1)-l(raiz2-tfrac12r) =1-raiz2+tfrac12 =tfrac32-raiz2
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A =l(raiz2-tfrac12-tfracpi4r) +l(tfrac32-raiz2r) =1-pi4

Resposta

1-tfracpi4

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