Q 128 Retas tangentes e retas normais, via derivada implícita:
Seja
a circunferência de raio 1 centrada na origem e
a reta tangente à
no ponto de abscissa
. Determine a área da região compeendida entre a reta
, a circunferência
, o eixo
e o eixo
.
Seja
Passo 1
O enunciado diz que
é a circunferência de raio 1 centrada na origem e pede a área da região limitada pela reta tangente
no ponto de abscissa
, pela própria circunferência
, pelo eixo
e pelo eixo
. O conteúdo aqui envolve derivada implícita para achar a reta tangente, depois montar uma integral (ou duas) para computar a área dessa região no primeiro quadrante.
Passo 2
Na circunferência
o ponto de abscissa
no primeiro quadrante tem
A derivada implícita dá
logo em
temos
A reta tangente tem coeficiente angular
e passa por
, então
Passo 3
Os pontos de interseção da reta
com os eixos são
A circunferência corta os eixos em
e
. Entre esses valores a reta fica acima da circunferência, e para
a circunferência não está mais presente.
Passo 4
A região procurada é o domínio fechado pela curva
(arco de círculo), a reta
e os segmentos dos eixos entre
e
e entre
e
. Podemos dividir em duas partes por abscissa:
1. Para
, a “faixa” vertical vai de
até
.
2. Para , só existe a faixa de
até
.
2. Para
Assim a área é
Passo 5
Calculemos cada integral:
-
-
é a área de um quarto de círculo de raio 1, ou seja . -
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