Forma Local das Imersões/Submersões e Teorema do Posto.
Seja f: R^n R^m uma função de classe C^1 com m<n.
a) f pode ser uma imersão? f pode ser uma submersão? Responda dando exemplos ou demonstrando que não.
b) Suponha que f tenha posto constante. Usando o Teorema do Posto (existem difeos beta e alpha tais que beta circ f circ alpha(x, y)=(x, 0) ), mostre que f não é injetora.
(OBS: Para resolver o item b), a hipótese de posto constante poderia, com um pouco mais de análise, ser eliminada. Mas para o exercício, suporemos posto constante)

Passo 1

O enunciado trata de fcolon R^ntoR^m de classe C^1 com m<n. No item (a) queremos ver se é possível ter \emph{imersão} (isto é, diferencial injetora em cada ponto) ou \emph{submersão} (diferencial sobrejetora em cada ponto). No item (b), supondo que f tenha posto constante r, usaremos o Teorema do Posto, que garante difeomorfismos locais alpha em R^n e beta em R^m tais que
betal(f(alpha^-1(x,y))r) ;=;(x,0)em coordenadas (x,y)inR^rtimesR^n-r
Com isso, mostraremos que f não pode ser injetora.

Passo 2

Definições e análise do item (a):
f é imersão em p se dfpcolonR^ntoR^m for injetora, ou seja,
rank(dfp)=n
Mas como m<n, todo linear de R^n em R^m tem posto no máximo m<n. Logo não existe imersão global.
f é submersão em p se dfp for sobrejetora, isto é,
rank(dfp)=m
Isso é perfeitamente possível. Por exemplo, a projeção
picolon R^ntoR^m, pi(x1,dots,xn)=(x1,dots,xm)
satisfaz dpip com posto m em todo ponto, portanto é submersão.

Passo 3

Preparando o item (b): suponha que rank(dfp)=r para todo p, com r<=minn,m. Aqui m<n, então o maior posto constante interessante é r=m. O Teorema do Posto garante existência de cartas locais
alphacolon UsubsetR^nto VsubsetR^n, betacolon WsubsetR^mto ZsubsetR^m,
com alpha(p)=(x0,y0)inR^mtimesR^n-m e f(U)subset W, tais que para (x,y)in V vale
betal(f(alpha^-1(x,y))r)=(x,0)inR^mtimesR^n-m

Passo 4

Provar que f não é injetora: no sistema de coordenadas de alpha, dois pontos com mesmas primeiras m coordenadas e \emph{diferentes} últimas n-m são enviados pelo mapa local (x,y)mapsto(x,0) para a mesma imagem. Explicitamente, escolha (x,y)neq(x,y') em V com yneq y'. Então
betal(f(alpha^-1(x,y))r)=(x,0) e betal(f(alpha^-1(x,y'))r)=(x,0),
logo f(alpha^-1(x,y))=f(alpha^-1(x,y')) e f não pode ser injetora.

Resposta

a) Não existe imersão porque exigiria rankdfp=n>m. Já existem submersões, por exemplo a projeção pi(x1,dots,xn)=(x1,dots,xm).
b) Usando o Teorema do Posto na forma betacirc fcircalpha^-1(x,y)=(x,0), vemos que pontos diferentes (x,y)neq(x,y') dão a mesma imagem, logo f não é injetora.

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