Forma Local das Imersões/Submersões e Teorema do Posto.
Seja
uma função de classe
com
.
a)
pode ser uma imersão?
pode ser uma submersão? Responda dando exemplos ou demonstrando que não.
b) Suponha que
tenha posto constante. Usando o Teorema do Posto (existem difeos
e
tais que
), mostre que
não é injetora.
(OBS: Para resolver o item b), a hipótese de posto constante poderia, com um pouco mais de análise, ser eliminada. Mas para o exercício, suporemos posto constante)
Seja
a)
b) Suponha que
(OBS: Para resolver o item b), a hipótese de posto constante poderia, com um pouco mais de análise, ser eliminada. Mas para o exercício, suporemos posto constante)
Passo 1
O enunciado trata de
de classe
com
. No item (a) queremos ver se é possível ter \emph{imersão} (isto é, diferencial injetora em cada ponto) ou \emph{submersão} (diferencial sobrejetora em cada ponto). No item (b), supondo que
tenha posto constante
, usaremos o Teorema do Posto, que garante difeomorfismos locais
em
e
em
tais que
Com isso, mostraremos que
não pode ser injetora.
Passo 2
Definições e análise do item (a):
– é imersão em
se
for injetora, ou seja,
–
Mas como
, todo linear de
em
tem posto no máximo
. Logo não existe imersão global.
– é submersão em
se
for sobrejetora, isto é,
–
Isso é perfeitamente possível. Por exemplo, a projeção
satisfaz
com posto
em todo ponto, portanto é submersão.
Passo 3
Preparando o item (b): suponha que
para todo
, com
. Aqui
, então o maior posto constante interessante é
. O Teorema do Posto garante existência de cartas locais
com
e
, tais que para
vale
Passo 4
Provar que
não é injetora: no sistema de coordenadas de
, dois pontos com mesmas primeiras
coordenadas e \emph{diferentes} últimas
são enviados pelo mapa local
para a mesma imagem. Explicitamente, escolha
em
com
. Então
logo
e
não pode ser injetora.
Resposta
a) Não existe imersão porque exigiria
. Já existem submersões, por exemplo a projeção
.
b) Usando o Teorema do Posto na forma , vemos que pontos diferentes
dão a mesma imagem, logo
não é injetora.
b) Usando o Teorema do Posto na forma