(2 pontos) Considere o seguinte problema , em que é dada por
Ache as singularidades do campo e determine se elas são estáveis, assintoticamente estáveis ou instáveis. Justifique.
Passo 1
O enunciado trata do sistema em
e pede (i) as singularidades (pontos de equilíbrio) e (ii) a classificação de cada uma em termos de estabilidade. Vamos usar o método de linearização, ou seja, calcular a matriz jacobiana em cada ponto de equilíbrio e analisar seus autovalores.
Passo 2
Para achar as singularidades, igualamos as componentes de a zero:
Da segunda equação vem imediatamente . Da primeira, os fatores dão
Em (0,0), temos lambda1=-1<0 e lambda2=-4<0, logo ambos autovalores negativos: ponto atrator (nó assintoticamente estável).
Em (1,0), lambda1=-2<0 e lambda2=-4<0, idem: nó assintoticamente estável.
Em l(tfrac13,0r), lambda1=tfrac23>0 e lambda2=-4<0, sinais opostos caracterizam sela instável.
Resposta
As singularidades são (0,0), (1,0) e l(tfrac13,0r).
Em (0,0) e em (1,0) ambas as direções têm autovalores negativos, portanto são nós assintoticamente estáveis.
Em l(tfrac13,0r) um autovalor é positivo e o outro negativo, caracterizando um ponto de sela instável.