(2 pontos) Considere o seguinte problema x^prime=f(x), em que f: R^2 R^2 é dada por
f(x, y)=(-x(x-1)(3 x-1),-4 y)
Ache as singularidades do campo f e determine se elas são estáveis, assintoticamente estáveis ou instáveis. Justifique.

Passo 1

O enunciado trata do sistema em R^2
x' = -,x(x-1)(3x-1), y' = -4,y,
e pede (i) as singularidades (pontos de equilíbrio) e (ii) a classificação de cada uma em termos de estabilidade. Vamos usar o método de linearização, ou seja, calcular a matriz jacobiana em cada ponto de equilíbrio e analisar seus autovalores.

Passo 2

Para achar as singularidades, igualamos as componentes de f a zero:
-,x(x-1)(3x-1)=0 e -4,y=0
Da segunda equação vem imediatamente y=0. Da primeira, os fatores dão
x=0, x=1, x=tfrac13
Logo os pontos de equilíbrio são
(0,0), (1,0), l(tfrac13,0r)

Passo 3

Compute a matriz jacobiana Df(x,y). Chamando g(x)=-x(x-1)(3x-1), temos
partial gpartial x(x) = -l[,3x^2cdot(x-1)(3x-1)r]'(mais simp<=smente, derivar o polinômio) ô
Expansão direta:
g(x)=-3x^3+4x^2-x,
logo
g'(x)=-9x^2+8x-1
Como y' é -4y, a jacobiana é diagonal:
Df(x,y) = g'(x) & 0 0 & -4
Em cada equilíbrio (xi,0) os autovalores são
lambda1 = g'(xi), lambda2 = -4

Passo 4

Agora avaliamos g'(x) nos três pontos:
g'(0) = -1, g'(1) = -9+8-1 = -2, g'l(tfrac13r) = -9l(tfrac13r)^2 +8l(tfrac13r)-1 = -1 + tfrac83-1 = tfrac23
Em todos os casos lambda2=-4<0.
  • Em (0,0), temos lambda1=-1<0 e lambda2=-4<0, logo ambos autovalores negativos: ponto atrator (nó assintoticamente estável).
  • Em (1,0), lambda1=-2<0 e lambda2=-4<0, idem: nó assintoticamente estável.
  • Em l(tfrac13,0r), lambda1=tfrac23>0 e lambda2=-4<0, sinais opostos caracterizam sela instável.

Resposta

As singularidades são
(0,0), (1,0) e l(tfrac13,0r).
Em (0,0) e em (1,0) ambas as direções têm autovalores negativos, portanto são nós assintoticamente estáveis.
Em l(tfrac13,0r) um autovalor é positivo e o outro negativo, caracterizando um ponto de sela instável.

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