Seja a matriz
B=\left[\begin{array}{rrr} 11 & -8 & 4 \\\\ -8 & -1 & -2 \\\\ 4 & -2 & -4 \end{array}\right]
a) Defina autovetor.
b) Calcule os autovalores de B.

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
  • Matriz dada:
B=\begin{pmatrix} 11 & -8 & 4 \\\\ -8 & -1 & -2 \\\\ 4 & -2 & -4 \end{pmatrix}
  • Perguntas:
    (a) Definir o que é um autovetor.
    (b) Calcular os autovalores de B.

Passo 2

Definição didática de autovetor (resposta da parte a), explicada passo a passo.
  • Intuição rápida: um autovetor é um vetor que, ao ser transformado por uma matriz, apenas muda de escala (e possivelmente de sinal), mas não muda de direção. É como uma “direção privilegiada” da transformação linear.
  • Definição formal: seja A uma matriz quadrada de ordem n. Um vetor não nulo v\in\mathbb{R}^n é um autovetor de A se existe um escalar \lambda\in\mathbb{R} tal que
Av=\lambda v.
Aqui:
  • A é a matriz que representa a transformação linear;
  • v é o autovetor (deve ser v\neq 0);
  • \lambda é o autovalor (número que escala v) associado a v.
  • Como encontrar autovalores (resumo prático para prova): os valores \lambda que permitem existência de v\neq 0 são as soluções da equação
\det(A-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade. Essa equação é chamada de equação característica.

Passo 3

Começar a resolver a parte (b): montar a equação característica de B.
  • Formar B-\lambda I:
B-\lambda I=\begin{pmatrix} 11-\lambda & -8 & 4 \\\\ -8 & -1-\lambda & -2 \\\\ 4 & -2 & -4-\lambda \end{pmatrix}.
  • A equação característica é
\det(B-\lambda I)=0.

Passo 4

Calcular o determinante \det(B-\lambda I) passo a passo (expansão por primeira linha). Escrevo o determinante e expandimos:
\det(B-\lambda I)=(11-\lambda)\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & -2\\\\ -2 & -4-\lambda\end{pmatrix} -(-8)\det\begin{pmatrix}-8 & -2\\\\ 4 & -4-\lambda\end{pmatrix} +4\det\begin{pmatrix}-8 & -1-\lambda\\\\ 4 & -2\end{pmatrix}.
Agora calculo cada menor:
  • Primeiro menor:
\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & -2\\\\ -2 & -4-\lambda\end{pmatrix} =( -1-\lambda)(-4-\lambda)-(-2)(-2).
Multiplicando:
( -1-\lambda)(-4-\lambda)=4+5\lambda+\lambda^{2},
então subtraindo (-2)(-2)=4,
\text{primeiro menor}=4+5\lambda+\lambda^{2}-4=\lambda^{2}+5\lambda.
  • Segundo menor:
\det\begin{pmatrix}-8 & -2\\\\ 4 & -4-\lambda\end{pmatrix} =(-8)(-4-\lambda)-(-2)(4)=32+8\lambda+8=40+8\lambda.
  • Terceiro menor:
\det\begin{pmatrix}-8 & -1-\lambda\\\\ 4 & -2\end{pmatrix} =(-8)(-2)-4(-1-\lambda)=16+4+4\lambda=20+4\lambda.

Passo 5

Substituo os menores na expansão e simplifico:
\det(B-\lambda I)=(11-\lambda)(\lambda^{2}+5\lambda)+8(40+8\lambda)+4(20+4\lambda).
Calculo cada parte:
  • Expandindo a primeira parte:
(11-\lambda)(\lambda^{2}+5\lambda)=11\lambda^{2}+55\lambda-\lambda^{3}-5\lambda^{2}=-\lambda^{3}+6\lambda^{2}+55\lambda.
  • Segunda parte:
8(40+8\lambda)=320+64\lambda.
  • Terceira parte:
4(20+4\lambda)=80+16\lambda.
Somando tudo:
\det(B-\lambda I)=-\lambda^{3}+6\lambda^{2}+55\lambda+320+64\lambda+80+16\lambda.
Agrupando termos semelhantes:
\det(B-\lambda I)=-\lambda^{3}+6\lambda^{2}+135\lambda+400.
Multiplicando por -1 para obter o polinômio monico:
\det(B-\lambda I)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda^{3}-6\lambda^{2}-135\lambda-400=0.

Passo 6

Resolver o polinômio característico. Vou buscar raízes racionais usando possíveis divisores de 400 (teorema das raízes racionais). Testo alguns candidatos; um chute inteligente é \lambda=-5 (porque números pequenos costumam aparecer).
  • Avaliando o polinômio em \lambda=-5:
(-5)^{3}-6(-5)^{2}-135(-5)-400 = -125 -150 +675 -400 = 0.
Logo \lambda=-5 é uma raiz.

Passo 7

Fatoro o polinômio dividindo por \lambda+5. Faço divisão sintética (coeficientes: 1,\,-6,\,-135,\,-400) com raiz -5:
  • Trazer 1.
  • Multiplicar por -5: -5. Somar a -6: -11.
  • Multiplicar por -5: 55. Somar a -135: -80.
  • Multiplicar por -5: 400. Somar a -400: 0.
Logo o quociente é \lambda^{2}-11\lambda-80. Assim
\lambda^{3}-6\lambda^{2}-135\lambda-400=(\lambda+5)(\lambda^{2}-11\lambda-80).
Agora fatoro a quadrática \lambda^{2}-11\lambda-80. Procuro dois números cujo produto é -80 e soma é -11: esses números são -16 e 5. Portanto
\lambda^{2}-11\lambda-80=(\lambda-16)(\lambda+5).
Assim o polinômio totalmente fatorado é
\lambda^{3}-6\lambda^{2}-135\lambda-400=(\lambda-16)(\lambda+5)^{2}.

Passo 8

Interpretação final (parte b): as raízes do polinômio característico são os autovalores de B. Da fatoração obtemos as raízes
  • \lambda=16,
  • \lambda=-5 (raiz dupla, ou seja, multiplicidade algébrica 2).
Como nota final: B é simétrica, portanto todos os autovalores são reais e a multiplicidade algébrica iguala a multiplicidade geométrica — isso garante existência de autovetores linearmente independentes correspondentes.

Resposta

(a) Um autovetor é um vetor não nulo v tal que Av=\lambda v para algum escalar \lambda. \
(b) \lambda=16 e \lambda=-5 (com multiplicidade algébrica 2).

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