Perguntas:
(a) Definir o que é um autovetor.
(b) Calcular os autovalores de B.
Passo 2
Definição didática de autovetor (resposta da parte a), explicada passo a passo.
Intuição rápida: um autovetor é um vetor que, ao ser transformado por uma matriz, apenas muda de escala (e possivelmente de sinal), mas não muda de direção. É como uma “direção privilegiada” da transformação linear.
Definição formal: seja A uma matriz quadrada de ordem n. Um vetor não nulo v\in\mathbb{R}^n é um autovetor de A se existe um escalar \lambda\in\mathbb{R} tal que
Av=\lambda v.
Aqui:
A é a matriz que representa a transformação linear;
v é o autovetor (deve ser v\neq 0);
\lambda é o autovalor (número que escala v) associado a v.
Como encontrar autovalores (resumo prático para prova): os valores \lambda que permitem existência de v\neq 0 são as soluções da equação
\det(A-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade. Essa equação é chamada de equação característica.
Passo 3
Começar a resolver a parte (b): montar a equação característica de B.
Resolver o polinômio característico. Vou buscar raízes racionais usando possíveis divisores de 400 (teorema das raízes racionais). Testo alguns candidatos; um chute inteligente é \lambda=-5 (porque números pequenos costumam aparecer).
Interpretação final (parte b): as raízes do polinômio característico são os autovalores de B. Da fatoração obtemos as raízes
\lambda=16,
\lambda=-5 (raiz dupla, ou seja, multiplicidade algébrica 2).
Como nota final: B é simétrica, portanto todos os autovalores são reais e a multiplicidade algébrica iguala a multiplicidade geométrica — isso garante existência de autovetores linearmente independentes correspondentes.
Resposta
(a) Um autovetor é um vetor não nulo v tal que Av=\lambda v para algum escalar \lambda. \
(b) \lambda=16 e \lambda=-5 (com multiplicidade algébrica 2).